11 坐标系与参数方程中的易错题分析-《中学生数理化》高考数学2023年6月刊

■安徽省太湖职业技术学校 汪锐华 坐标系与参数方程在高考中,从考查知 识的角度看,主要涉及:基本公式与概念,三 种方程的互化,圆与椭圆的参数方程,直线、 圆、椭圆中参数的几何意义。从同学们存在 问题的角度看,主要有:基本概念不清晰、基 本方法不熟练;运算能力、作图能力、表达能 力等欠缺;目标意识、规范意识薄弱,具体体 现在:消参的技巧不熟练(代入,加减,三角, 齐次化),其关键之处是代数式的结构;忽略 方程互化的等价性(注意范围);对参数(t,ρ, θ)的几何意义理解不准确;忽略极点的多值 性。本文针对在高考备考中这部分内容出现 的易错题进行分类剖析,并提出一些备考建 议,以期对同学们的复习备考能有所帮助。 易错点一、忽视参数的范围导致三种方 程转化不等价 例 1 (2022年河南高三开学考试)在 平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程 为 x= sin t, y=cos t (t为参数)。以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 系,直线l的极坐标方程为2sin θ- 15· cos θ=0。 (1)求曲线C 的普通方程; (2)若P 是曲线C 上一动点,求 PO 的 最大值; (3)求直线l与曲线C 交点的直角坐标。 易错分析:在参数方程化成普通方程时 忽视了参数的取值范围,即忽视了三角函数 x= sin t的范围,变形不等价。 正解:(1)因 为sin2t+cos2t=1,所 以 x4+y2=1。 又因为0≤ sin t≤1,所以曲线C 的普 通方程为x4+y2=10≤x≤1 。 (2)设 P sin t,cos t ,则 PO = sin t+cos2t = sin t+1-sin2t = - sin t- 1 2 2 + 5 4 ,所以当sin t= 1 2 时, PO 取得最大值 5 2 。 (3)由直线l的极坐标方程可得其直角 坐标方程为 15x-2y=0。 联 立 x4+y2=10≤x≤1 , 15x-2y=0, 解 得 x= 1 2 , y= 15 4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以直线l与曲线C 交点的直角 坐标为 1 2 ,15 4 。 总结:把参数方程化为普通方程时,需要 根据其结构特征,选取适当的消参方法。常 见的消参方法有:代入消参法;加减消参法; 平方和(差)消参法;乘法消参法等。把曲线 C 的普通方程F(x,y)=0化为参数方程的 关键:一是选取适当的参数;二是确保互化前 后方程的等价性。要注意方程中参数的变化 范围。 易错点二、不能正确理解极径的几何意 义,不能利用极径的几何意义解决问题 例 2 (2022年全国高三专题练习)数 图1 学中有许多美丽的曲线,如 图1所示,在平面直角坐标 系xOy 中,曲线E:x2+y2 =a( x2+y2-y)(a>0) 的形状如心形,称这类曲线 为心形曲线。以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 系。当a=2时。 (1)求曲线E 的极坐标方程; (2)已知 P,Q 为曲线E 上异于坐标原 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年6月 点O 的两点,且OP→·OQ→=0,求△OPQ 的 面积的最大值。 易错分析:不能正确理解极坐标方程中 ρ的几何意义:M 是平面内任意一点,极点O 与点M 的距离 OM 叫作点M 的极径,记作 ρ,即ρ= OM 。 正解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ,代入 曲线E 的方程,整理得ρ2=2ρ-ρsin θ ,即 ρ=21-sin θ ,所以曲线E 的极坐标方程 为ρ=21-sin θ 。 (2)不妨设Pρ1,θ ,Qρ2,θ+ π 2 ,所以 ρ1=21-sin θ ,ρ2=2 1-sinθ+ π 2 = 21-cos θ ,则△OPQ 的面积S= 1 2ρ1ρ2= 21-cos θ 1-sin θ =2-2(sin θ+cos θ) +2sin θcos θ。由于 sin θ+cos θ 2=1+ 2sin θcos θ,令t=sin θ+cos θ,则t∈ - 2,2 ,2sin θcos θ=t2-1,则S=2-2t +t2-1=t2-2t+1=t-1 2,故当t=- 2 时,Smax= - 2-1 2=3+2 2,即△OPQ 的面积的最大值为3+22。 总结:过极点的直线与曲线相交产生的 “距离”问题,如过极点O 的直线与曲线C 交 于A,B 两点,求|AB|,|OA|,|OA+OB|, |OA·OB|等问题,要把曲线C