03 “强基计划”数学专题讲座六-强基”数学试题中的数学恒常之美赏析-《中学生数理化》高二数学2023年6月刊

■江苏省无锡市第一中学 韦燕平 ■江南大学理学院 谢广喜 在一般的运动变化过程中,运动与静止 表现为辩证的统一,因此在特定的情况下, 通常情况下的变量可能会表现为不变量,这 种情况其实在数学学科里也广泛存在,体现 出数学学科的恒常之美的魅力。“强基”数 学试卷中有不少试题同样表现了这一点,典 型的题型如代数背景下恒等变换,三角背景 下恒等变换,解析几何背景下的 “三定”问 题(定值探究、动直线过定点、动点在定直线 上)等。 例 1 设n为正整数,证明: (1)sin π 2n ·sin 2π 2n ·sin 3π 2n · … · sin (n-1)π 2n = n 2n-1 (n≥2); (2)cos π 2n+1 · cos 2π 2n+1 · cos 3π 2n+1 ·…·cos nπ 2n+1= 1 2n 。 解析:(1)为了证明(1),我们需要先证明 一个与之密切相关的辅助命题: 对于任意大于等于2的正整数m,有恒 等 式 sin π m ·sin 2π m ·sin 3π m · … · sin (m-1)π m = m 2m-1 (m≥2)成立。 这个命题证明的思路是充分利用函数 f(x)= xm-1 x-1 (m≥2)的零点,它们恰好就是 xm=1(m≥2)的m-1个复单位根(不含x= 1),记ω=cos 2π m +isin 2π m (m≥2),这 m-1 个复单位根可统一记为ω,ω2,…,ωm-1(m≥ 2),即 xm-1 x-1= (x-ω)·(x-ω2)·…·(x- ωm-1)(m≥2),也即xm-1+xm-2+…+x+1 =(x-ω)·(x-ω2)·…·(x-ωm-1) (m≥2)。 注意上式是一个关于任意实数x 的恒等 式,令x=1,并且等式两边取复数模。由于一 般地有|1-ωk|= 1-cos 2kπ m -isin 2kπ m = 1-cos 2kπ m 2 + sin 2kπ m 2 =2sin kπ m (1≤ k≤m-1),立 得 m=2m-1sin π m ·sin 2π m · sin 3π m ·…·sin (m-1)π m (m≥2),即有sin π m · sin 2π m ·sin 3π m ·…·sin (m-1)π m = m 2m-1 (m≥2)。此时我们进一步取特殊值,令m= 2n,即 有sin π 2n ·sin 2π 2n ·sin 3π 2n ·…· sin (2n-1)π 2n = 2n 22n-1 (m=2n≥2),该等式左 边是(2n-1)项相乘,该乘积的正中间项(即 第n项)即为sin nπ 2n=1 ,其余乘积项关于第 n 项 两 两 对 称 相 等,于 是 由 上 式 化 简 得 sin π 2n ·sin 2π 2n ·sin 3π 2n ·…·sin (n-1)π 2n 2 = n 22n-2 (m=2n≥2)。 注意到括号内的角都是锐角,可得: 11 名师篇 名师强基课堂 高二数学 2023年6月 sin π 2n ·sin 2π 2n ·sin 3π 2n · … · sin (n-1)π 2n = n 22n-2 = n 2n-1 (n≥2)。 (2)令 An=cos π 2n+1 ·cos 2π 2n+1 · cos 3π 2n+1 ·…·cos nπ 2n+1 。 Bn=sin π 2n+1 ·sin 2π 2n+1 ·sin 3π 2n+1 ·…· sin nπ 2n+1 。 于是AnBn= 1 2n sin 2π 2n+1 ·sin 4π 2n+1 · sin 6π 2n+1 ·…·sin 2nπ 2n+1 。注意到所有这 些项均不为0,对于等式左边的Bn 中的n 个 乘积项,所有的如sin 2π 2n+1 ,sin 4π 2n+1 ,…, sin 2k·π 2n+1 (2k≤n),都可与等式右边约去,而 剩下的sin π 2n+1 ,sin 3π 2n+1 ,sin 5π 2n+1 ,…, 恰好与等右边剩下的三角函数值sin 2nπ 2n+1 , sin (2n-2)π 2n+1 ,sin (2n-4)π 2n+1 ,…,一一对应相等。 于是等式两边约去所有这些公因子后, 立得cos π 2n+1 ·cos 2π 2n+1 ·cos 3π 2n+1 ·…· cos nπ 2n+1= 1 2n 。 评注:可 用 诱 导 公 式 得 cos π 2n+1 · cos 2π 2n+1 ·cos 3π 2n+1 · … ·cos 2nπ 2n+1= (-1)n· 1 22n 。若我们对它取n=5的特殊值, 即有cos π 11 ·cos 2π 11 ·cos 3π 11