01 圆锥曲线中非对称目标式的转化策略-《中学生数理化》高二数学2023年6月刊

圆锥曲线中非对称目标式的转化策略 ■河南省偃师高级中学 胡稳治 在解答圆锥曲线的相关问题时,通常需 将直线方程与圆锥曲线方程联立,通过消元 得到关于x 或y 的一元二次方程,然后利用 根与系数的关系,来解决形如x21+x22, 1 x1 + 1 x2 ,x1y2+x2y1 的表达式的运算问题。 上述几个表达式中,如果轮换x,y 的下 标,式子整体上将保持不变,我们称之为对称 目标式。对于这样的表达式,往往可通过适 当变形,将其转化为x1+x2,x1x2 的形式,然 后将根与系数关系的表达式整体代入,进行 求解。 我 们 也 会 遇 到 如 x1 x2 ,λx1 + μx2, y1(x2-2) y2(x1+2) 之类的目标式。在这些式子中,如 果轮换x,y 的下标,式子将会发生改变,我 们将此类目标式为非对称目标式。对于非对 称目标式,我们无法将其直接转化为x1+ x2,x1x2 的形式,因而无法将根与系数关系 式的表达式整体代入。在这种情况下,就需 要采取恰当的策略进行转化。 一、配凑转化 配凑转化,就是将非对称目标式进行恰 当配凑,使之出现x1+x2,x1x2 或y1+y2, y1y2 的形式,且分子、分母中的“剩余”部分 仅保留单独的x1 或x2(y1 或y2)上,然后将 根与系数关系的表达式整体代入进行运算。 例 1 已知双曲线C:x 2 3-y 2=1,过点 (3,0)且不与x 轴垂直的直线l与双曲线C 交于P,Q 两点,过点 P 作直线x=1的垂 线,垂足为A,证明:直线AQ 过定点。 解析:设直线l的方程为y=k(x-3)。 由 y=k(x-3), x2 3-y 2=1, 得 (1-3k2)x2 + 18k2x-27k2-3=0。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则A(1,y1)。 1-3k2≠0, Δ=72k2+12>0, x1+x2= 18k2 3k2-1 , x1x2= 27k2+3 3k2-1 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 直线AQ 的方程为y-y1= y2-y1 x2-1 (x- 1),根据对称性知,直线AQ 所过定点应在x 轴上。 令y=0,得: x= y2-y1x2 y2-y1 = k(x2-3)-k(x1-3)x2 k(x2-3)-k(x1-3) = -x1x2+4x2-3 x2-x1 。 这里的 -x1x2+4x2-3 x2-x1 是一个非对称 目标式,无法直接将根与系数关系式的表达 式代入求解。但若考虑到要使这个分式为定 值,要么分子为0,要么分子、分母各项系数 对应成比例,约分后为定值。 故考虑采取配凑代换的方法,在分母“配 凑”出“x1+x2”的“完整”形式,分子、分母中 “剩余”的部分只保留坐标x1 或x2,解答过 程如下。 -x1x2+4x2-3 x2-x1 = -x1x2+4x2-3 -(x1+x2)+2x2 = -27k2-3 3k2-1 +4x2-3 - 18k2 3k2-1 +2x2 = -36k2 3k2-1 +4x2 - 18k2 3k2-1 +2x2 =2。 故直线AQ 过定点(2,0)。 此题除上述方法外,也可改变直线l方 程的设法,以如下方式求解。 设直线的方程为x=my+3。 由 x=my+3, x2 3-y 2=1, 得: 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年6月 (m2-3)y2+6my+6=0。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则A(1,y1)。 所以y1+y2=- 6m m2-3 ,y1y2= 6 m2-3 。 直线AQ 的方程为y-y1= y2-y1 x2-1 (x- 1),根据对称性知,直线AQ 所过定点应在x 轴上。 令y=0,得: x = y2-y1x2 y2-y1 = y2-y1(my2+3) y2-y1 = y2-3y1-my1y2 y2-y1 = (y2+y1)-my1y2-4y1 (y2+y1)-2y1 = -6m m2-3 - 6m m2-3 -4y1 -6m m2-3 -2y1 =2。 故直线AQ 过定点(2,0)。 从上面解法可以发现,处理非对称目标 式时,可以通过配凑,使式子中尽可能多地出 现x1+x2,x1x2 的“完整”形式,且使分子、分 母中“剩余”部分仅集中在单独的x1 或x2 上,这样即可使用根与系数关系的表达式整 体代入。 二、平方转化 平方转化,是指在非对称目标式的分子、 分母上同乘以x1 或x2(y1 或y2),或者对非 对称目标式进行整体平方,使之出现x21 或 x22(y21 或y22)的形式。再结合圆锥曲线方程 进行转化,使目标式转化为关于 x1+x2, x1x2(或y1+y2,y1y2)的式子,进而可以使 用根