07 椭圆焦点三角形中的幂平均不等式及其应用-《中学生数理化》高二数学2023年6月刊

椭圆焦点三角形中的幂平均不等式及其应用 ■江西省丰城中学 黄 龙 黄林飞 ■江西省丰城厚一学校 吴爱龙 众所周知,不等式 a2+b2 2 ≥ a+b 2 2 ,a> 0,b>0被称为幂平均不等式,其中等号当且 仅当a=b时取到,其应用非常广泛。 当两数的平方和为定值时,和取最大值。 为此该不等式在三角中有一种表现形式 为 sin2 θ+cos2 θ 2 ≥ sin θ+cos θ 2 2 ,变形可得 |sin θ+cos θ|≤ 2。 当两数的和为定值时,平方和取得最小 值。无独有偶,笔者发现在解析几何中就有 这一情形的鲜活体现。 下面给出其在椭圆焦点三角形中的一种 对偶形式及其简单应用。 图1 定理 如图 1,已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0) 中,△PF1F2 为 椭圆的焦点三角 形,|PF1|=r1, |PF2|=r2,则r21+r22≥2a2,当且仅当r1=r2 时取等号。 证明:由幂平均不等式a 2+b2 2 ≥ a+b 2 2 得,r 2 1+r22 2 ≥ r1+r2 2 2 。 由椭圆定义知,r1+r2=2a。 将其代入整理即得r21+r22≥2a2,当且仅 当r1=r2 时等号取到。 该不等式直接反映了r1、r2、a 三者之间 的不等关系,运用起来非常方便。 变式1 如图2,已知椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a >b>0)中,△PF1F2 为椭圆的焦点三角形, 若∠F1PF2=θ,则cos θ≥1-2e2,其中e为 图2 椭圆离心率。 证 明: 在 △PF1F2 中,由 余弦定 理、均 值 不等式并结合上 述结论可知: cos θ = r21+r22-4c2 2r1r2 ≥ 2a2-4c2 2r1r2 = a2-2c2 r1r2 ≥ a2-2c2 r1+r2 2 2= a2-2c2 a2 = 1-2e2。 图3 变式2 如 图 3,已 知 椭 圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a> b > 0) 中, △PF1F2 为 椭 圆 的 焦 点 三 角 形,若 ∠F1PF2 =θ,e为椭圆离心率,则e≥sin θ 2 。 证明:由 变 式1知,2e2≥1-cos θ= 2sin2 θ 2⇒e 2≥sin2 θ 2⇒e≥sin θ 2 。 例 1 设椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的 左、右焦点分别为F1、F2,如果椭圆上存在点 P,使∠F1PF2=90°,求离心率e的取值范围。 解析:在焦点△PF1F2 中,由本文定理 知,r21+r22≥2a2。因为∠F1PF2=90°,所以 r21+r22=4c2,于是有4c2≥2a2,即 c2 a2 ≥ 1 2 。 故e≥ 2 2 。又0<e<1,故 2 2≤e<1 。 所以离心率e的取值范围为 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 52 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年6月 例 2 (安徽江淮十校2020届高三下 学期5月第三次联考)设F1、F2 是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在 椭 圆 上 存 在 点 P 使 得|PF1→ +PF2→|= |PF1→-PF2→|,则椭圆的离心率取值范围为 。 A. 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 B.0,22 􀭤􀭥 􀪁􀪁 C. 3 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 D.12,1 解析:由|PF1→+PF2→|= |PF1→-PF2→| 知,即存在点P 使得PF1→⊥PF2→,即∠F1PF2 =90°。由变式1知cos 90°≥1-2e2⇒e2≥ 1 2 。 又0<e<1,故 2 2≤e<1 。 所以离心率的取值范围为 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ,选A。 例 3 (2000年高考题)椭圆x 2 a2 +y 2 b2 = 1的两个焦点分别为F1、F2,若椭圆上存在 一点P,使得∠F1PF2=120°,求椭圆的离心 率取值范围。 解析:在焦点△PF1F2 中,∠F1PF2= 120°,由变式2知,e≥sin 60°= 3 2 。 又0<e<1,故 3 2≤e<1 。 所以离心率的取值范围为 3 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 有时候应用上述结论,可以秒杀某些烦 琐的选择题。 例 4 椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P(x1,y1)、 Q(x2,y2)在椭圆C 上,其中x1>0,y1>0。 若|PQ|=2|OF2|, |QF1| |PF1| ≥ 3 3 ,则椭圆离 心率的取值范围为(