06 突出四个“基本点”,强化导数及应用-《中学生数理化》高二数学2023年6月刊

■江苏省张家港中等专业学校 韩文美 函数与导数之间的关系是贯穿于整个高 中数学体系的一个基本知识点,借助导数法, 以函数为根本,实现函数问题的进一步深入 与拓展,是历年高考中考查的重点与难点之 一。涉及导数及其应用问题,可以从以下四 个“基本点”入手解答。 1.夯实基点 导数与应用中的基点是:利用函数的构造 或已有函数的应用,通过导数研究函数的单调 性、极值与最值等,关键在于基本运算。 例 1 (多选题)(2023届八省八校高 三第一次学业质量评价数学试题)已知函数 f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为 R,若 f'(x)-f(x)= x-sin x ex ,f(0)=1,则下列 结论正确的是( )。 A.f(1)>e B.f' π 2 <f π2 C.方程f'(x)=f(x)+ 1 2e2 有两个解 D.f(x)在区间 0, π 2 上单调递增 分析:根 据 题 设 条 件,合 理 构 建 函 数 F(x)=f (x) ex ,求导得到函数单调区间,得到 F(0)<F (1),计 算 得 到 A 正 确;易 得 f' π 2 -f π2 >0,因此B错误;另外构建 函数h(x)=f'(x)-f(x)= x-sin x ex ,求得 函数的单调区间,得到h π2 > 12e2,C正确; 利用 f(x)=ex ·F(x),求 导 确 定 函 数 f'(x)在 0, π 2 上大于0,D正确。 解:构建函数F(x)=f (x) ex ,则F'(x)= f'(x)ex-f(x)ex e2x = x-sin x e2x 。 设函数g(x)=x-sin x,由于g'(x)= 1-cos x≥0恒成立,故函数g(x)单调递增。 而g(0)=0,故当x<0时,x<sin x;当 x>0时,x>sin x。即当x<0时,F'(x)< 0,函数F(x)在(-∞,0)上单调递减;当x> 0时,F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递 增。故 F(0)<F(1),即f (0) e0 <f (1) e1 ,即 f(1)>e,选项A正确。 而f' π 2 -f π2 = π 2-sin π 2 e π 2 >0,故 f' π 2 >f π2 ,选项B错误。 设函 数 h(x)=f'(x)-f(x)= x-sin x ex ,则 h' (x)= x-sin x ex ' = 1-cos x-x+sin x ex 。 设函数r(x)=1-cos x-x+sin x,则 当x≥π时,r(x)=(1-x)+(sin x-cos x) <(1-π)+2<0;当x≤0时,sin x≥x,且 1-cos x≥0,故r(x)≥0。 当0<x<π时,r'(x)=sin x-1+cos x = 2sin x+ π 4 -1。当 x∈ 0,π2 时, r'(x)>0,r(x)单调递增;当x∈ π2 ,π 时, 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年6月 r'(x)<0,r(x)单调递减。又r(0)=0,r(π) =2-π<0,∃x0∈ π 2 ,π ,使得r(x0)=0。 即当x∈(0,x0)时,r(x)>0;当x∈(x0,π) 时,r(x)<0。 综上分析,当x∈(-∞,x0)时,r(x)≥ 0,即h'(x)≥0,h(x)单调递增;当x∈(x0, +∞)时,r(x)<0,即h'(x)<0,h(x)单调 递减。 而h(0)=0,当x<0时,h(x)<h(0)= 0;当x>0时,x>sin x,h(x)>0,且当x 趋 于正无穷时,h(x)趋于0。 又x0∈ π 2 ,π ,h π2 = π 2-1 e π 2 > 3 2-1 e 4 2 = 1 2e2 ,方程h(x)= 1 2e2 有两个解,即方程 f'(x)=f(x)+ 1 2e2 有两个解,选项C正确。 由 F(x)=f (x) ex ,可得 f(x)=ex · F(x),且f'(x)=ex·[F(x)+F'(x)]。 令函数u(x)=F(x)+F'(x),则u'(x) =F'(x)+[F'(x)]'= r(x) e2x 。 由 以 上 分 析 可 知,当 x∈ 0, π 2 时, r(x)>0,即 u'(x)>0,u(x)单 调 递 增, u(x)>u(0)=F(0)+F'(0)=1,f'(x)>0,故 f(x)在区间0, π 2 上单调递增,选项D正确。 答案为ACD。 点评:本题以多选题的形式出现,利用导 数解决函数的单调性、函数的零点问题,实现 题设条件与结论之间的无缝链接,借助构造 新函数,利用导数及其应用来确定新函数的