09 高考中概率典型例题赏析-《中学生数理化》高二数学2023年6月刊

高考中概率典型例题赏析 ■河南省郑州第一〇一中学 冯连福 数学建模是指对现实问题进行数学抽 象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模 型来解决问题的过程。高考数学对数学建模 这一核心素养进行考查的形式主要体现在概 率与统计试题。《中国高考报告(2023)》再次 强调数学概率与统计试题将会以复杂情景的 形式呈现,信息识别与加工会更加明显。下 面我们将概率中典型例题进行一一分析,同 学们要学会收集信息→加工信息→数学建模 →运算求解→解决问题;举一反三,提高自己 科学探究与思维建模、逻辑推理能力。 类型一、两点分布 例 1 某大学开设甲、乙、丙三门选修 课,学生是否选修哪门课互不影响。已知某 学生只选修甲的概率为0.08,只选修甲和乙 的概 率 是0.12,至 少 选 修 一 门 的 概 率 是 0.88,用ξ表示该学生选修的课程门数和没 有选修的课程门数的乘积。 (1)记“函数f(x)=x3+ξ为 R上的奇 函数”为事件A,求事件A 的概率; (2)求ξ的概率分布和数学期望。 分析:(1)由于函数f(x)为奇函数,则ξ =0,表示该学生选修三门功课或三门功课都 没选,可求事件A 的概率;(2)由已知可得ξ =0或2,则ξ的分布列可求。 解:设该学生选修甲、乙、丙的概率分别 为x、y、z。 依题意得 x(1-y)(1-z)=0.08, xy(1-z)=0.12, 1-(1-x)(1-y)(1-z)=0.88。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=0.4, y=0.6, z=0.5。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (1)若函数f(x)=x3+ξ为R上的奇函 数,则ξ=0。 当ξ=0时,表示该学生选修三门功课或 三门功课都没选。 故P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x) (1-y)(1-z)=0.4×0.5×0.6+(1- 0.4)×(1-0.5)×(1-0.6)=0.24。 事件A 的概率为0.24。 (2)依题意知ξ=0或2,则ξ的概率分布 如表1所示。 表1 ξ 0 2 P 0.24 0.76 因此,ξ的数学期望为E(ξ)=0×0.24+ 2×0.76=1.52。 类型二、超几何分布 例 2 已知10件不同的产品中共有3 件次品,现对它们进行一一测试,直到找出所 有3件次品为止。 (1)求恰好在第5次测试时3件次品全 部被测出的概率; (2)记恰好在第k 次测试时3件次品全 部被测出的概率为f(k),求f(k)的最大值 和最小值。 分析:(1)恰好在第5次测试时次品全部 被测出,则第5次取次品,前4次中取2件次 品、2件正品;(2)恰好在第k 次测试时次品 全部被测出需分类讨论。 解:(1)若恰好在第5次测试时3件次品 全部被测出,则第5次取出第3件次品,前4 次中有2件是次品,2件是正品。有 A13C27A44 种情况。 从10件产品中顺序取出5件,有A510 种 情况。 则第5次测试时3件次品全部被测出的 概率P= A13C27A44 A510 = 1 20 。 (2)根据题意,分析可得k的范围是3≤ k≤9。 当3≤k≤6时,若恰好在第k 次测试时 3件次品全部被测出,则第k 次取出第3件 03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年6月 次品,前k-1次中有2次是次品,k-3次是 正品。而从10件产品中顺序取出k 件,有 Ak10 种情况。 则f(k)= A13Ck-37 Ak-1k-1 Ak10 = 1 240 (k2-3k+ 2),f(3)= 1 120 ,f(4)= 1 40 ,f(5)= 1 20 ,f(6) = 1 12 。 当k=7时,即恰好在第7次测试时3件 次品全部被测出,有两种情况,一是第7次取 出第3件次品,前6次中有2次是次品,4次 是正品;二是前7次没有取出次品,此时也可 以测出三件次品。 则f(7)= A13C47A66+A77 A710 = 2 15 。 当k=8时,即恰好在第8次测试时3件 次品全部被测出,有两种情况,一是第8次取 出第3件次品,前7次中有2次是次品,5次 是正品;二是前7次恰有一次次品,第8次取 出为合格品。 则f(8)= A13C57A77+A17C13A77 A810 = 7 30 。 当k=9时,即恰好在第9次测试时3件 次品全部被测出,此时f(9)=1-f(3)- f(4)-f(5)-f(6)-f(7)-f(8)= 7 15 。 故f(k)min=f(3)= 1 120 ,f(k)max=f(9) = 7 15 。 类型三、二项分布 图1 例 3 我国的5G研 发在世界处于领先地位, 到2022年底已开通5G基 站超过231万个,占全球 比例超过60%。某科技公 司为基站使用的某种装置