02 多姿多彩的非线性回归分析问题-《中学生数理化》高二数学2023年6月刊

多姿多彩的非线性回归分析问题 ■广东省兴宁市第一中学 蓝云波 ■广东省梅州市教育局教师发展中心 陈启南 回归直线方程是高考中的高频考点,对 大部分同学而言,掌握得比较好。但是随着 高考命题越来越注重考生的应变能力,对应 用已学知识求解或探索创新问题提出了越来 越高的要求。非线性回归分析问题正是基于 此而命制的一类创新问题。所谓非线性回归 分析问题,指的是当两个变量具有相关关系, 但又不呈线性相关关系时,可依据样本点的 分布选择合适的曲线方程来模拟,并设法求 得其回归方程的一类问题。常见的非线性回 归分析问题有二次函数型、根式型、倒数型、 指数型与对数型。通过研究分析,我们发现 建立非线性经验回归模型的基本步骤如下: 1.确定研究对象,明确哪个是解释变量, 哪个是响应变量; 2.由经验确定非线性经验回归方程的模型; 3.通过变换(换元,取对数,指数式、对数 式互化等),将非线性经验回归模型转化为线 性经验回归模型; 4.按照公式计算经验回归方程中的参 数,得到经验回归方程,需要特别注意的是, 使用线性回归方程的公式,要注意代入变换 后的变量; 5.消去新元,得到非线性经验回归方程。 下面将对这五类问题逐一进行阐述,希 望能为同学们彻底解决非线性回归分析问题 提供一些借鉴,并帮助同学们通过学习与研 究,提高自己的数学素养与能力水平。 一、二次函数型回归方程 例 1 (山东省潍坊市2022届高三核 心素养测评)2021年11月4日,第四届中国 国际进口博览会在上海开幕,共计2 900多 家参展商参展,420多项新产品、新技术、新 服务在本届进博会上亮相。某投资公司现从 中选出20种新产品进行投资。为给下一年 度投资提供决策依据,需了解年研发经费对 年销售额的影响,该公司甲、乙两部门分别从 这20种新产品中随机地选取10种产品,每 种产品被甲、乙两部门是否选中相互独立。 (1)求20种新产品中产品 A 被甲部门 或乙部门选中的概率。 图1 (2)甲部门对选取的 10种产品的年研发经费 xi(单位:万元)和年销售 额yi(i=1,2,…,10)(单 位:十万元)数据作了初步 处理,得到散点图(图1) 及一些统计量的值。根据 散点图现拟定y 关于x 的回归方程为ŷ=̂b(x-3)2+̂a,求â、̂b的值 (结果精确到0.1)。 表1 ∑ 10 i=1 xi ∑ 10 i=1 yi ∑ 10 i=1 (xi-3) 2 ∑ 10 i=1 (xi-3) 4 ∑ 10 i=1 (xi-3) 2·yi 65 75 205 8 773 2 016 (3)甲、乙两部门同时选中了新产品A, 现用掷骰子的方式确定投资金额。若每次掷 骰子点数大于2,则甲部门增加投资1万元, 乙部门不增加投资;若点数小于3,则乙部门 增加投资2万元,甲部门不增加投资。求两 部门投资资金总和恰好为100万元的概率。 附:对于一组数据(v1,u1),(v2,u2),…, (vn,un),其回归直线u=α+βv 的斜率和截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 β̂ = ∑ n i=1 (vi-v)(ui-u) ∑ n i=1 (vi-v)2 , α̂ = u - β̂ v, 2 016-205×7.5 8 773-205×20.5= 29 277 ,2 016-65×7.5 8 773-65×6.5= 1 019 5 567 。 解析:(1)20种新产品中产品A 没有被 甲部门和乙部门同时选中的概率P= C1019 C1020 · C1019 C1020 = 1 2 ·1 2= 1 4 ,所以产品A 被甲部门或乙 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2023年6月 部门选中的概率为1- 1 4= 3 4 。 (2)令t=(x-3)2,由题中数据得t= 1 10∑ 10 i=1 (xi-3)2=20.5,y= 1 10∑ 10 i=1 yi=7.5; ∑ 10 i=1 tiyi=∑ 10 i=1 (xi-3)2yi=2 016,∑ 10 i=1 t2i= ∑ 10 i=1 (xi-3)4=8 773。 b̂= ∑ 10 i=1 tiyi-10􀭰t􀭵y ∑ 10 i=1 t2i-10t2 = 2 016-205×7.5 8 773-205×20.5 = 29 277≈0.1 ,̂a=y-̂bx=7.5- 29 277×20.5≈5.4 。 (3)由题意知,掷骰子时甲部门增加投资 1万元发生的概率为 2 3 ,乙部门增加投资2 万元发生的概率为 1 3 。设投资资金总和恰好 为n万元的概率为Pn,则投资资金总和恰好 为(n+1)万 元 的 概 率 为 Pn+1