1.5 全称量词与存在量词-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

1.5　全称量词与存在量词 【知识梳理】 知识点一　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【基础自测】 1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 3．下列命题中是假命题是（　　） A．∀x∈R，|x|+1＞0 B．∃x∈R，1＝2 C．∃x∈R，|x|＜1 D．∀x∈N*， 4．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定(　　) A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0 B．∃x>0，使得x2－x＋3>0 C．∀x>0，都有x2－x＋3>0 D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0 5．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1 【例题详解】 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1　下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根; ②所有素数都是奇数; ③有些一元二次方程无实数根; ④三角形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 跟踪训练1　下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2　下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使 跟踪训练2　下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A．所有菱形的四条边都相等 B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N C．任意x∈R，x2+2x+1>0 D．π是无理数 三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 例3　(1)若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)“，”是真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． (3)已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3　(1)已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 四、含有一个量词的命题的否定 例4　(1)命题“任意x∈[0，+∞)，x3+x≥0”的否定是（    ） A．任意x∈(-∞，0)，x3+x<0 B．任意x∈(-∞，0)，x3+x≥0 C．存在x∈[0，+∞)，x3+x<0 D．存在x∈[0，+∞)，x3+x≥0 (2)命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练4　(1)命题，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， (2)命题，则命题的否定是（     ） A． B． C． D． (3)“对任意x∈R，若，则”的否定是________． 五、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 例5　(1)已知命题“满足，使”， (i)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围. (ii)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围. (2)命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (i)若命题为假命题，求实数的取值范围； (ii)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 跟踪训练5　(1)已知命题，命题. (i)若命题为真命题，求实数的取值范围； (ii)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. (2)已知，命题，不等式恒成立；命题，成立. (i)若为真