3.3 函数的应用(一) 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

3.3　函数的应用(一) 情境导入 课程标准 　　随着经济和社会的发展,汽车已逐步成为人们外出的代步工具。下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表: 年份 2018 2019 2020 销量/万辆 8 18 30 　　结合以上三年的销量及人们生活的需要,2021年,该汽车销售公司达到43万辆汽车的销售目标,你能预测2022年该公司可以销售多少辆汽车吗? 1.能利用已知函数模型求解实际问题; 2.能自建确定性函数模型解决实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 知识点二、应用函数模型解决问题的基本过程 　　用函数模型解应用题的四个步骤。 (1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模——求解数学模型,得出数学结论; (4)还原——将数学结论还原为实际问题。 合作探究攻重难 　 类型一　一次函数、二次函数的应用 　　【例1】　甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖量的规模(总产量)进行调查,提供了甲、乙两个方面的信息,分别如图①、②所示。 甲调查表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只; 乙调查表明:甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个。 请你根据提供的信息说明: (1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数; (2)到第六年,这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了?说明理由; (3)哪一年的规模最大?说明理由。 ①　② 解　(1)年份用x表示,第一年即x=1,每个甲鱼池的平均出产量用y1表示,甲鱼池的个数用y2表示。 由图像可知,y1和y2关于年份x的函数图像都是直线, 故设y1=k1x+b1,y2=k2x+b2。 由题意知,直线y1=k1x+b1经过点(1,1)和(6,2), 则得k1=0.2,b1=0.8, 所以y1=0.2(x+4)。 同理可得y2=4-x+。 当x=2时,y1=1.2,y2=26, 故第二年甲鱼池的个数为26,全县出产甲鱼的总数为1.2×26=31.2(万只)。 (2)第一年出产甲鱼总数为1×30=30(万只), 第六年出产甲鱼总数为2×10=20(万只),故规模缩小了。 (3)由(1),知y1·y2=0.2(x+4)×4-x+ =-0.8x2+3.6x+27.2。 当x=-=≈2时,上式取最大值,为-0.8×4+3.6×2+27.2=31.2, 所以第二年规模最大,为31.2万只。 　　一次函数、二次函数应用问题的解题策略 (1)根据实际问题建立函数解析式。 (2)利用函数的单调性或二次函数的配方法、判别式法、换元法等方法求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题。 (3)解答二次函数的最值问题最好结合二次函数的图像。 【变式训练】　据市场分析,某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数图像的顶点。 (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式; (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获得最大利润? 解　(1)设y=a(x-15)2+17.5, 将x=10,y=20代入上式, 得20=25a+17.5,解得a=0.1, 所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25)。 (2)设最大利润为Q(x), 则Q(x)=1.6x-y=1.6x-(0.1x2-3x+40) =-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25)。 因为x=23∈[10,25],所以月产量为23吨时,可获最大利润,最大利润为12.9万元。 类型二　分段函数的应用 　　【例2】　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时。研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数。 (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大?请求出最大值。(精确到1辆/