2.2.4 均值不等式及其应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 情境导入 课程标准 　　 某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不同,所以直接称重不准确。有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后以作为项链的质量来计算。试问为何店主不以真实质量来售卖。 掌握均值不等式≥(a,b>0)。结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题。 自主预习明新知 　 知识点一、均值不等式 　　1.有关概念:给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数称为a,b的几何平均值。 2.均值不等式:如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立。 　　3.均值不等式的几何意义:将均值不等式两边平方可得:≥ab,如果矩形的长和宽分别为a,b,那么矩形的面积为ab,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个几何意义为:所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大。 知识点二、均值不等式求最值 　　1.理论依据。 (1)设x,y为正实数,若x+y=S(和S为定值),则当x=y时,积xy有最大值,且这个值为S2。 (2)设x,y为正实数,若xy=P(积P为定值),则当x=y时,和x+y有最小值,且这个值为2。 2.均值不等式求最值的条件。 (1)x,y必须是正数; (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值。 (3)等号成立的条件是否满足。 微提醒 　　利用均值不等式求最值需注意的问题: (1)各数(或式)均为正。 (2)和或积为定值。 (3)判断等号能否成立,“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。 合作探究攻重难 　 类型一　对均值不等式的理解 　　【例1】　(1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (　　) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 解析　对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D项,因为ab>0,所以,>0,所以+≥2=2。 答案　D (2)不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是 (　　) A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 解析　因为a>0,根据均值不等式≤,当且仅当a=b时等号成立,故a+1≥2中等号成立当且仅当a=1。 答案　C 　　要熟记重要不等式和均值不等式的形式及其成立的条件,尽管在这两个不等式中,a,b可以换成不同的数、式,但换后的数、式必须满足相应的条件,否则就会得出错误的结论。 【变式训练】　下列不等式一定成立的是 (　　) A.≥ B.≤- C.x+≥2 D.x2+≥2 解析　当a,b,x都为负数时,A,C不正确;当a,b为正数时,B不正确。根据均值不等式,有x2+≥2=2。故选D。 答案　D 类型二　利用均值不等式求最值 　　【例2】　(1)求函数y=+x(x>3)的最小值。 解　y=+x=+(x-3)+3, 因为x>3,所以x-3>0,>0, 所以y≥2+3=5。 当且仅当=x-3,即x=4时,y取得最小值5。 (2)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值。 解　因为0<x<,所以1-3x>0, y=x(1-3x)=×3x·(1-3x)≤=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,取等号, 所以当x=时,函数取得最大值。 　　利用均值不等式求函数的最值 (1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件。 (2)等号取不到时,注意利用求函数最值的其他方法。 【变式训练】　(1)已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为　　　　。  解析　因为x<,所以5-4x>0。所以y=4x-2+=-(5-4x)++3≤-2+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立。故当x=1时,ymax=1。 答案　1 (2)若x>1,则函数y=的最小值为　　　　。  解析　因为x>1,所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,当且仅当=x-1,即(x-1)2=1时,等号成立,所以当x=2时,ymin=4。 答案　4 类型三　利用均值不等式证明不等式 　　【例3】　(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++。 证明　因为a>0,b>0,c>0, 所以a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0。 所以2(a+b+c)≥2(++), 即a+b+c≥++。 因为a,b,c为不全相等的正实数,所以等号不成立。 所以a+b+c>++。 (2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:-1-1-1≥8。 证明　因为a,b,c为正实数,且