2.1.3 方程组的解集 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.1.3　方程组的解集 情境导入 课程标准 　 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁、鸡母、鸡雏只数分别为x,y,z,则当z=81时,x,y的值各为多少? 1.了解方程组的概念; 2.会求简单的方程组的解集。 自主预习明新知 　 知识点一、方程组的解集 　　一般地,将多个方程联立,就能得到方程组。方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。常用的方法是消元法。 知识点二、二元一次方程组 　　1.代入法:将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法。 2.加减法:对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解,这种解方程组的方法称为加减消元法,简称加减法。 知识点三、二元二次方程组 　　1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程。 2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,或由两个二元二次方程组成的方程组,叫做二元二次方程组。 微提醒 　　当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素。此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来。 合作探究攻重难 　 类型一　二元一次、三元一次方程组的解法 　　【例1】　(1)求方程组的解集。 解　将方程组整理,得 ②-①,得3y=3,即y=1。将y=1代入①, 得x=,则方程组的解集为。 (2)求三元一次方程组的解集。 解　②×3+③,得11x+10z=35。④ ①与④组成方程组解得 把x=5,z=-2代入②,得y=。 所以原方程组的解集是5,,-2。 　　解二元或三元一次方程组时,选择方法的技巧 (1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时,选用代入消元法较合适。 (2)当方程组中某一个方程的常数项为0时,选用代入消元法较合适。 (3)当两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时,选用加减消元法较合适。 (4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时,选用加减消元法较合适。 【变式训练】　(1)已知是二元一次方程组的解,则a-b的值为 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.3 解析　把解代入原方程组得解得所以a-b=-1。 答案　B (2)已知x+2y+3z=54,3x+2y+2z=47,2x+2y+z=31,那么代数式x+y+z的值是 (　　) A.17 B.22 C.32 D.132 解析　将三个三元一次方程组成方程组整体求法,将三个式子相加,得6x+6y+6z=132,两边都除以6,解得x+y+z=22。故选B。 答案　B 类型二　二元二次方程组的解法 　　【例2】　(1)方程组的解集为　　　　。  解析　由①得:y=2x　③,将③代入②得:x2-(2x)2+3=0,解得x1=1或x2=-1,把x=1代入③得:y=2;把x=-1代入③得:y=-2。所以原方程组的解集是{(1,2),(-1,-2)}。 答案　{(1,2),(-1,-2)} (2)解方程组 解　由①得(x+y)(x-y)-5(x+y)=0 ⇒(x+y)(x-y-5)=0, 所以x+y=0或x-y-5=0, 所以原方程组可化为两个方程组: 或 用代入法解这两个方程组,所以原方程组的解集是{(-1,-6),(6,1),(,-),(-,)}。 　　解二元二次方程组的两个注意点 (1)消x还是消y,应由二元一次方程的系数来决定。若系数均为整数,那么最好消去系数绝对值较小的,如x-2y+1=0,可以消去x,变形得x=2y-1,再代入消元。 (2)消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值,不能代入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根。 【变式训练】　解方程组: 解　由①得(x-4y)(x+y)=0, 所以x-4y=0或x+y=0, 由②得(x+2y)2=1, 所以x+2y=1或x+2y=-1。 原方程组可化为以下四个方程组: 解这四个方程组,得原方程组的四个解是: 所以方程组的解集为,,-,-,(-1,1),(1,-1)。 类型三　解方程组在实际中的应用 　　【例3】　某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0。每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比。市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),