2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 情境导入 课程标准 　　利用恒等式的变形,推导一元二次方程根与系数的关系:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1,x2,令ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,所以即 1.使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程; 2.会熟练应用公式法解一元二次方程; 3.探索一元二次方程根与系数的关系,并且能用关系熟练解题。 自主预习明新知 　 知识点一、一元二次方程的解法 常用解法 适用范围 直接开平方法 形如a(mx+n)2=b的方程(a≠0) 配方法 一元二次方程的一般形式 公式法 一元二次方程的一般形式 因式分解法 一般形式左侧易于因式分解 知识点二、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 　　1.根的判别式。 一元二次方程根的判别式 根的判别 式的定义 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac 判别式与 根的关系 (1)b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根; (2)b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根; (3)b2-4ac<0⇔方程没有实数根 　　2.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则方程的两个根x1,x2和方程系数a,b,c之间有如下关系:x1+x2=-,x1x2=。 微提醒 　　在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为零这个限制条件。 合作探究攻重难 　 类型一　配方法解一元二次方程 　　【例1】　(1)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为 (　　) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=15 解析　移项,得x2-8x=1。配方,得x2-8x+42=1+42,即(x-4)2=17。 答案　C (2)用配方法求方程2x2+1=3x的解集。 解　移项,得2x2-3x=-1。 二次项系数化为1,得x2-x=-。 配方,得x2-x+2=-+2,即x-2=。 由此可得x-=±,x=1或x=, 所以原方程的解集为,1。 　　用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)将一元二次方程化为一般形式。 (2)将常数项移到方程的右边。 (3)在方程两边同除以二次项系数,将二次项系数化为1。 (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方,然后将方程左边化为一个完全平方式,右边为一个常数。 　　(5)当方程右边是一个非负数时,用直接开平方法解这个一元二次方程;当方程右边是一个负数时,原方程无实数解 【变式训练】　已知实数x满足x2++2x+-6=0,求x+的值。 解　将原方程两边同时加上2, 得x2++2+2x+-6=2, 即x+2+2x+=8。 设x+=y,则方程x+2+2x+=8可化为y2+2y=8。 配方,得y2+2y+1=8+1, 所以(y+1)2=9。 直接开平方,得y+1=±3。 解得y1=2,y2=-4。 即x+=2或x+=-4。 类型二　公式法解一元二次方程 　　【例2】　求下列方程的解集: (1)x2-5x+2=0;(2)x2-2x+3=0。 解　(1)Δ=(-5)2-4×1×2=25-8=17>0, 方程有两个不等的实数根, x===, 即x1=,x2=。 所以方程的解集为,。 (2)Δ=(-2)2-4×1×3=12-12=0, 方程有两个相等的实数根, x1=x2=-=-=。 所以方程的解集为{}。 　　用公式法解一元二次方程时的两个注意点 (1)一定要把方程化为一般形式。 (2)一定要计算b2-4ac的值,且b2-4ac的值大于或等于0时,才能代入求根公式。 【变式训练】　求下列一元二次方程的解集。 (1)x2-3x=1;(2)4x2=2x-1。 解　(1)由题可得x2-3x-1=0, 因为a=1,b=-3,c=-1, 所以x=, 所以x1=,x2=。 所以原方程的解集为,。 (2)由题可得4x2-2x+1=0, 所以a=4,b=-2,c=1,Δ=(-2)2-4×4×1<0, 所以原方程的解集为⌀。 类型三　一元二次方程根与系数的关系 　　【例3】　关于x的方程(k-1)x2+2kx+2=0。 (1)求证:无论k为何值,方程总有实数根; (2)设x1,x2是方程(k-1)x2+2kx+2=0的两个根,记S=++x1+x2,S的值能为2吗?若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由。 解　(1)证明:当k=1时,原方程可化为2x+2=0,解得x=-1,此时该方程有实数根; 当k≠1时,方程是一元二次方程,因为Δ=(2k)2-4(k-1)×2=4k2-8k+8=4(k-1)2+4>0,所以方程有实