2.1.1 等式的性质与方程的解集 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

　▶导语:相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系,等式与不等式是表示数量关系的基本工具,等式与不等式的性质是研究方程、不等式的解集以及比较大小等问题的基础,我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式,再通过方程、不等式解决日常生活中的各种问题。通过本章的学习,进一步认识等式和不等式的意义与价值,体会等式与不等式的内在联系,为后续学习函数奠定基础。 要点精准概括 3个重点内容:一元二次不等式和绝对值不等式的解法,均值不等式及其应用 2个难点内容:均值不等式的灵活运用,不等式的证明 3个思想方法:类比的思想、分类与整合思想、数形结合思想 3个关键能力:推理论证能力、运算求解能力、数学建模能力 第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 情境导入 课程标准 　　有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物,有一天它遇见老虎,狐狸说:“我发现了2和5可以相等。我这里有一个方程5x-2=2x-2。等式两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x,等式两边同时除以x,得5=2。”老虎瞪大了眼睛,一脸的疑惑。你认为狐狸的说法正确吗? 1.掌握等式的性质,会进行等式的恒等变换; 2.了解十字相乘法,会用十字相乘法分解因式; 3.理解方程的解集,会求简单方程的解集。 自主预习明新知 　 知识点一、常用乘法公式 　　1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和,加上(或减去)这两数积的2倍。 3.其他恒等式: (1)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; (2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (3)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac。 知识点二、十字相乘法 　　1.二次项系数为1时:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 2.二次系数不为1时:acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)。 3.记忆口诀:拆两头,凑中间。 知识点三、方程的解集 　　1.方程的解(根):能使方程左右两边相等的未知数的值。 2.方程的解集:一个方程所有的解组成的集合。 微思考 　　1.十字相乘法分解因式的关键是什么? 提示:把二次项和常数项分解,交叉相乘,得到两个因数,再把两个因式相加,看它们的和是不是正好等于一次项系数。 2.把方程通过适当变换后,求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗? 提示:把方程通过变换,求出的未知数的值不一定是这个方程的根,也可能是这个方程的增根。 合作探究攻重难 　 类型一　代数式的化简 　　【例1】　(1)化简(x+1)2-(1-2x)2。 解　解法一:(x+1)2-(1-2x)2=x2+2x+1-(1-4x+4x2)=x2+2x+1-1+4x-4x2=-3x2+6x。 解法二:(x+1)2-(1-2x)2=[(x+1)+(1-2x)][(x+1)-(1-2x)]=(2-x)3x=-3x2+6x。 (2)化简(3x+1)2-(x+1)2。 解　解法一:(3x+1)2-(x+1)2=9x2+6x+1-(x2+2x+1)=9x2+6x+1-x2-2x-1=8x2+4x。 解法二:(3x+1)2-(x+1)2=[(3x+1)+(x+1)][(3x+1)-(x+1)]=(4x+2)·2x=8x2+4x。 　　(1)使用公式化简时,一定要分清公式中的a,b分别对应题目中的哪个数或哪个整式。 (2)利用公式化简时,要注意选择公式,公式选择恰当,可以有效地简化运算。 【变式训练】　(1)化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是 (　　) A.-2m2 B.0 C.-2 D.-1 解析　(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)=(m2+1)(m2-1)-(m4+1)=(m4-1)-(m4+1)=m4-1-m4-1=-2。故选C。 答案　C (2)计算(x+3y)2-(3x+y)2的结果是 (　　) A.8x2-8y2 B.8y2-8x2 C.8(x+y)2 D.8(x-y)2 解析　解法一:(x+3y)2-(3x+y)2=x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2)=x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2=8y2-8x2。 解法二:(x+3y)2-(3x+y)2=[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)]=(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y)=(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)×2(-x+y)=8y2-8x2。 答案　B 类型二　“十字相乘法”分解因式 　　【例2】　把下列各式因式分解。 (1)x2+3x+2; (2)6