1.2.1 命题与量词 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 情境导入 课程标准 　　 学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由500名学生参加的开幕式团体操表演。这500名学生符合下列条件:①所有学生都来自高二年级;②至少有30名学生来自高二(1)班。“所有”“至少有一个”,这就是本节我们所要学习的量词。 1.能从教材实例中抽象出命题、真命题、假命题的概念; 2.能从教材实例中抽象出全称量词、存在量词的含义; 3.理解全称量词命题、存在量词命题的概念,并能用数学符号表示。 自主预习明新知 　 知识点一、命题的概念 可供真假判断的陈述语句 知识点二、全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 命题 形式 “对集合M中的所有元素x,r(x)”,可用符号简记为“∀x∈M,r(x)”。 “存在集合M中的元素x,s(x)”,可用符号简记为“∃x∈M,s(x)”。 微提醒 　　(1)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断。 (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等。 (3)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。 合作探究攻重难 　 类型一　命题的概念 　　【例1】　判断下列语句是不是命题,如果是,说明其真假。 (1)奇数不能被2整除; (2)实数的平方是正数; (3)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1; (4)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2。 解　(1)(2)(3)(4)都是陈述句,且能判断真假,因此都是命题。 (1)是真命题。因为奇数是不能被2整除的整数。 (2)是假命题。反例:0的平方还是0,不是正数。 (3)是真命题。由(a-1)2+(b-1)2=0可得a-1=0且b-1=0,所以a=b=1。 (4)是假命题。反例:y=4,x=3也满足y=x+1。 　　对于本例(4),有的同学会找不到命题的条件和结论,不知道如何判断。事实上,“已知x,y为正整数”是大前提,“y=x+1”是条件,“y=3,x=2”是结论。需注意:简写的命题在日常学习中是很常见的,要想得到明显的条件和结论,需将原命题改写为“若p,则q”的形式。 【变式训练】　以下命题中的真命题是 (　　) A.所有的素数都是奇数 B.自然数集N中最小的数是1 C.圆内接四边形对角互补 D.若b≤1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根 解析　因为2是素数,但不是奇数,所以A是假命题。因为0∈N,所以B是假命题。因为根据圆的性质知,圆内接四边形对角互补,所以C是真命题。因为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,当Δ≥0,即b≤0时,方程x2-2bx+b2+b=0才有实根,所以当b≤1时,方程x2-2bx+b2+b=0不一定有实根,故D是假命题。故选C。 答案　C 类型二　全称量词命题与存在量词命题的判断 　　【例2】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零; (2)存在实数x,满足x2≥2; (3)存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0。 (2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,x2≥2。 (3)是存在量词命题,∃a∈R,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大。 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题。 (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题的含义。 【变式训练】　判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形都是正方形; (3)有些素数的和仍是素数; (4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形,故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题。 (4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题。 类型三　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　　【例3】　指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假。 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点; (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (3)对任意实数x1,x2,若x1<x2,都有<; (4)存在一个实数x,使得x2+2