1.1.2 集合的基本关系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.1.2　集合的基本关系 情境导入 课程标准 　　 星座,是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合。如北极星在小熊座,设小熊座中的星星构成集合A,所有恒星构成集合B,那么集合A与集合B有什么关系呢?这就是本节我们所要学习的集合间的关系。 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 2.能使用维恩图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用。 自主预习明新知 　 知识点一、子集与真子集 　　1.子集与真子集。 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 或 真子集 如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集 A⫋B(或B⫌A) 　　2.维恩图。 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图称为维恩图。 3.子集、真子集的性质。 (1)任意集合A都是它自身的子集,即A⊆A。 (2)空集是任意一个集合A的子集,即⌀⊆A。 (3)对于集合A,B,C,如果A⊆B,B⊆C,则A⊆C。 (4)对于集合A,B,C,如果A⫋B,B⫋C,则A⫋C。 知识点二、集合的相等与子集的关系 　　1.如果A⊆B,且B⊆A,则A=B。 2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A。 微思考 　　{0}与⌀相同吗?它们之间有什么关系? 提示:不同。{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而⌀表示空集,其不含有任何元素,⌀是{0}的真子集。 合作探究攻重难 　 类型一　集合的子集问题 　　【例1】　(1)集合{a,b,c}的所有子集为　　　　　　　　,其中它的真子集有　　　　个。  答案　⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}　7 (2)写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P。 解　由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P为{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}。 　　(1)假设集合A中含有n个元素,则有①A的子集的个数有2n个;②A的非空子集的个数有2n-1个;③A的真子集的个数有2n-1个;④A的非空真子集的个数有2n-2个。 (2)求给定集合的子集的两个注意点:①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身。 　　【变式训练】　已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集。 解　A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}。所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}。 类型二　判断集合间的关系 　　命题方向1:用维恩图表示集合间的关系 　　【例2】　设集合A={中国},B={广东},C={深圳},D={珠海},试用维恩图表示A,B,C,D的关系。 解　因为广东是中国的一部分,深圳和珠海都是广东的一部分,所以A真包含B,B真包含C和D,用维恩图表示如图所示。 　　用维恩图表示A⫋B时,要把表示集合A的封闭曲线画在表示集合B的封闭曲线的内部。 【变式训练】　用维恩图表示下列集合之间的关系:A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}。 解　根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系,再画维恩图。如图所示。 　　命题方向2:用数轴表示集合间的关系 　　【例3】　已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则 (　　) A.A∈B　B.A⫋B C.B⫋A　D.B⊆A 解析　由数轴易知A中元素都属于B,B中至少有一个元素如-2∉A,故有A⫋B。 答案　B 　　在数轴上画出两个数集的范围,两集合间的关系能够很明显地表现出来。 【变式训练】　设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则Q　　　　P。  解析　由题意得Q={x|-2<x<2},在数轴上表示出集合P和Q,如图,可知Q⫋P。 答案　⫋ 类型三　由集合间的关系求参数的范围 　　【例4】　(1)已知集合A=[-3,4],B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A。求实数m的取值范围。 解　因为B⊆A, ①当B=⌀时,m+1≤2m-1,解得m≥2。 ②当B≠⌀时,有解得-1≤m<2, 综上可得m的取值范围为[-1,+∞)。 (2)已知集合A={x|x