专题十一 正方形-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题十一、正方形 【专题导航】 目录 【考点一 利用正方形的判定性质求角度】.....................................1 【考点二 利用正方形的判定性质求线段长度】.................................3 【考点三 利用正方形的判定性质求面积】.....................................5 【考点四 利用正方形的判定性质证明】.......................................6 【考点五 四边形中的最值问题】.............................................8 【聚焦考点】 1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 2.正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 正方形性质： ①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. 3. 在正方形的条件下证明两条线段相等方法：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明 4. 正方形的判定： 四边形ABCD是正方形. 【典例剖析1】 【考点一 利用正方形的判定性质求角度】 【典例1-1】已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【典例1-2】已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 针对训练1 【变式1-1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【变式1-2】四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． (1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形； (2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长； (3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数． 【典例剖析2】 【考点二 利用正方形的判定性质求线段长度】 【典例2-1】如图①，正方形中，是的中点，，交正方形外角的角平分线于点，    (1)求证． (2)当为延长线上一点，其余条件不变，请在图②中画出图形，猜想（1）中结论是否仍然成立？并说明理由． 【典例2-2】在平面直角坐标系中，四边形为矩形，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，且、．    (1)如图1，在矩形的边上取一点E，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的F处，求的长． (2)将矩形的边沿x轴负方向平移至(其它边保持不变)，M、N分别在边上且满足．如图2，P、Q分别为上一点．若，求证：． 针对训练2 【变式2-1】如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．    (1)求边上高的长度； (2)连接，，当为何值时，四边形为菱形； (3)作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 【变式2-2】（1）【发现证明】如图1，四边形是正方形，点是上一点，连接，以为一边作正方形，连接，求证：； （2）【类比探究】如图2，连接交于点，连接，试判断、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，点恰为中点，则的面积为______． 【典例剖析3】 【考点三 利用正方形的判定性质求面积】 【典例3-1】如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结． (1)求证：； (2)试探究四边形的形状，并说明理由； (3)若，，，求四边形的面积． 【典例3-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点． (1)在图1中，以格点为端点，画线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画正方形，使它的面积为10 针对训练3 【变式3-1】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【变式3-2】如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点