夯基固本专项练（3）导数及其应用-2024届高考数学一轮复习

（3）导数及其应用 1.已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( ) A. B.e C. D. 2.曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为( ) A. B. C. D. 4.已知函数，其导函数记为，则( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 5.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( ). A. B. C. D. 6.设函数，a，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为( ). A.1 B.3 C.1或3 D.不确定 7.已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知函数的定义域为R，，则( ) A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 9. （多选）已知函数，则( ). A.的极大值为-1 B.的极大值为 C.曲线在点处的切线方程为 D.曲线在点处的切线方程为 10. （多选）已知定义在R上的奇函数连续且可导，若（为的导函数），则( ) A. B. C. D. 11.已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________. 12.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________. 13.函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________. 14.已知函数，. （1）求函数的极值点； （2）若恒成立，求实数m的取值范围. 15.已知函数. （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，，则. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C. 2.答案：C 解析：由题意可知，则曲线在点处的切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选C. 3.答案：C 解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则. 4.答案：A 解析：由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以. 5.答案：D 解析：函数在区间内存在单调递增区间， 在区间上有解（成立）， 即在区间上成立， 又函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 当时，，即，解得. 6.答案：B 解析：对求导得， 令，得，则该方程必有一根为2，代入，有，解得，则. 因为2是的极小值点，且，所以为方程的较小根，从而，故. 又a为正整数，所以.故的极大值点为3. 7.答案：A 解析：由题意易知不是函数的零点，则，令，因此的零点与的零点相同.设，则，则当时，；当时，，故在，上单调递增，在，上单调递减，又，，当时，，当时，，当，，所以可画出函数的大致图象，如图所示，存在唯一的零点且等价于直线与函数的图象存在唯一的交点，且交点的横坐标小于零，由图可得a的取值范围为.故选A. 8.答案：ABC 解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.综上，选ABC. 9.答案：BD 解析：因为，所以，所以当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确； 因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD. 10.答案：ACD 解析：是定义在R上的奇函数，.在中，令，得，即，A正确；是定义在R上的奇函数，，，B错误；在中，令，得，又，，C正确；构造函数，则，当时，，在上单调递增，，，，，D正确. 11.答案： 解析：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线l的斜率， 整理得，，则，所以l的方程为，即. 12.答案： 解析：由，得，则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，令，则， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， ， 作出的图象，如图所示， . 13.答案： 解析：由题知的定义域为，则， 当时，，则在上单调递增，函数不可能有两个零点； 当时，令，得； 令，得，则在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为. 又当时，；当时，，且有两个零点， ，解得. 的极大值小于1，，解得. 综上，实数a的取值范围是. 14、（1）答案：是的极大值点，无极小值点 解析：由已知可得，函数的定义域为，且， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，无极小值点. （2）答案：当时，恒成立 解析：设，， 则， 令，， 则对任意恒成立， 所以在上单调递减. 又，， 所以，使得，即，则， 即. 因此，当时，，即，则单调递增； 当时，，即，则单调递减， 故，解得