湖南省长沙市长郡湘府中学2022-2023学年高二下学期第21周数学周考试题

长郡湘府中学2023年高二第二学期数学周考试卷（第21周） 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合,则（     ） A． B． C． D． 2．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 3．已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在数列中，，，则（     ） A．958 B．967 C．977 D．997 6．的内角，，的对边分别为，，，且，，则下面四个选项中错误的是（     ） A． B． C． D．周长的最大值为3 7．下列说法中正确的是（     ） ①设随机变量服从二项分布，则；②已知随机变量服从正态分布且，则；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；④；. A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③ 8．已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。 9．已知函数的图象关于对称，则（     ） A．的最大值为2 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 10．已知数列的前n项和为，若，且，则（     ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D． 11．已知向量，，，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围为且 D．的最小值为 12．定义在上的函数满足，，若，则（     ） A．是周期函数 B． C．的图象关于对称 D． 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13．已知，，则的值为________． 14．已知数列中，，且当时，有，则数列的通项公式为__________． 15．用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________. 16．三棱锥中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：共4小题，每小题9分，共36分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，  (1)求； (2)过点A作，交线段于点，且，求． 18．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围． 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 20．已知数列的前项和为，当时，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值. 参考答案 1．【答案】C 【解】集合,解得, ,即,解得,故, 所以 2．【答案】D 【解】，，得，A是的必要不充分条件， B是的必要不充分条件，C：是的充要条件， D：是的充分不必要条件． 3．【答案】C   【解】设，则， ，所以的取值范围为. 4．【答案】A 【解】因为，即， 所以，所以，其所对应的点为，位于第一象限. 5．【答案】C 【解】，，则 上述式子累加得 ， . 6．【答案】C 【解】由于，所以， 由正弦定理可得， 由于，所以，由于是三角形内角，则，故A正确； 由余弦定理知，即，由于， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 又由正弦定理知， 所以 ， 当且仅当时等号成立，故周长的最大值为3，故D正确； 由得，， 所以 ，故C错误. 7．【答案】A 【解】对于①，根据二项分布概率公式可得，，故①正确； 对于②，根据已知可得，， 所以. 根据正态分布的对称性可知，，故②正确； 对于③，由已知可得，，， 所以，，故③正确； 对于④，，，故④错误. 所以，正确的为①②③. 8．【答案】A 【解】由题设，即， 由，则上，递减；上，递增； ，且，图象如下：    由图知：时，，即且，所以， 令且，则， 时，，递减；时，，递增； 所以，即的最小值为. 9．【答案】AB 【解】因为函数的图象关于对称， 所以，解得， 所以，其最大值为2，故A正确； 令， 定义域为，， 所以即是偶函数，故B正确； 时，，在单调递增， 在单