上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

上海中学2022学年第二学期高一年级数学期末 2023.6 一、填空题（每题3分，共36分） 1.已知复数z=1+2i,i为虚数单位，则Rez-mz= 2.已知点A(2,3),B(6,-3),若点P满足AB=3AP,则点P的坐标为 3.已知复数z满足z(1+21)=3+4i,i为虚数单位，则=一 4.己知非零向量a、6满足同=l5且(2a+b)16,则ā与6的夹角为 5.在正方体ABCD-A,B,CD,中，AC与BD交于点O,则直线BC与直线OD所成角的大 小为 6.已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A(-2,-1),B(7,3)、C(12,9)、D(x,y)按逆 时针方向排列，则向量AD所对应的复数为 ,设()+aeN).则合=f的子集个数为 8.已知向量ā=(13)，a,b的夹角为3，(a+b)(2a-3b)=4,则6在ā方向上的 投影向量的坐标为 9.如图，P为平面ABCD外一点，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB, AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,若E为棱PC上 、D 一点，满足BE⊥AC,则PE EC 10.已知复数z,=2sin0-V3i,32=1+(2cos0)i,i为虚数单位，若0∈ π5π 26 复 数，2对应的向量分别为a,6,存在0使得等式(2ā-)(a-)=0成立，则实数入 的取值范围为 11.在△ABC中，D,E,F分别为边BC,CA,AB上的点，且CD=BC,EC=5AC, 5 AF=号AB.设P为四边形BDF内一点(P点不在边界上)，若DP=-}DC+元DE,则 实数入的取值范围为 12.已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=6,AC=8,AO=aAB+BAC(a,B∈R), 若smAa+B-一2∈R)省最小值.则参数：的取值范固为 二、选择题（每题4分，共16分）》 13.己知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 A.若m∥a,m∥B,a∩B=n,则m∥n B.若m∥n,nca,则m∥a C.若a⊥B,a∩B=n,m⊥n,则m⊥B D.若m⊥a,m⊥n,则n⊥ 14.已知O为△ABC所在平面内一点，D是AB的中点，动点P满足 OP=(1-)OD+OC(2∈R),则点P的轨迹一定过△ABC的(） A.内心 B.垂心 C.重心 D.AC边的中点 15.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为边ADBC上的点，且AD=3AE,BC=3BF, 设P、Q分别为线段AFCE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平 面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是( A.直线AB直线CD B.直线AB⊥直线PQ C.直线PQ∥直线ED D.直线PQ∥平面ADE 4 16.已知k+2个两两互不相等的复数31，二2，…，二k,w,w2,满足w,-w2=一 1W1-W2 且w,-a∈{L,3},其中j=1,2:a=0,1,2,…,),则k的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 三、解答题（本大题共有5题，共48分，解答时必须写出必要的步骤） 17.(本题9分)已知同l=4,5=3,(2ā-3b)(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角： (2)求2a+6的值. 18.(本题9分)如图，P为平面ABCD外一点，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是矩形， PA=AB=1,点F是PB的中点，点E在边BC上移动. (1)当点E为BC中点时，求证：EF∥平面PAC (2)求证：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF. D 19.(本题9分)已知关于x的实系数一元二次方程x2+x+9=0. (1)若复数2z是该方程的一个虚根，且+三=4-2V2i,i为虚数单位，求实数m的值： (2)记方程的两根为x,x,若x-x=2V5，求实数m的值. 20.(本题10分)利用平面向理的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复 向量”，即可将有序复数对（二，2）（其中二，二2∈C)视为一个向量，记作a=(3,).类 比平面向量可以定义其运算，两个复向量众=(5，)，B=(,）的数量积定义为一个 复数，记作·B,满足dB=+22',复向量d的模定义为园=Va. (1)设=(1-i,i),B=(3,4),i为虚数单位，求复向量a、B的模： (2)设、B是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量ā=(x,乃)，b=(x2,2),(其中x,x2,片，2∈R), a≤成立，证明：对于复向量d、B,匠≤也成立： ②当反B=lB时，称复向量a与B平行.若复向量d=(1+i,1-21)与B=(1,)平行 (其中i为虚数单位，z∈C),求复数z 21.(本题11分)如图，已知O是边长为1的正△ABC的外心，P,乃，…，P为BC边 上的n+1等分点，g,Q2,…,Qn为AC边上的