假期作业（七） 离散型随机变量的数字特征-2024年新教材高二数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

假期作业（七） >》个性飞扬·培素养 将频率视为概率，解答下列问题： (< (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆， 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业 求其首次出现故障发生在保修期内的概率： 生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的 (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲 时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿 品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的 车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品 利润为X2·分别求X1,X2的分布列. 牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 免 Z 首次出现 故障时 0<x11<x≤2x>20x≤2 x>2 间x(年) 轿车数 2 45 5 量（辆） 45 每辆利润 2 3 1.8 2.9 (万元) 假期作业（七） 离散型随机变量的数字特征 (2)意义：随机变量的方差和标准差都刻画了随 >》 有问必答·固双基 机变量取值偏离于 的平均程度.方差 1.离散型随机变量的均值或数学期望 或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分 程度 布列如下表所示： 4.离散型随机变量的方差的性质 (1)设a,b为常数，则D(aX+b)= (2)D(X)=E(X2)-(E(X))2. P pr P2 Pi 则称E(X)= >》》 典例精析·拓思维 ((( 为离散型随机变量X的均值或数学期望 【例】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品 (简称期望).离散型随机变量X的E(X)也可 检查它们的抗拉强度如下： 以用EX来表示. (2)意义：它刻画了离散型随机变量X的 EA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 2.离散型随机变量的均值或数学期望的性质 如果X为离散型随机变量，则Y=aX十b(其中 EB 100 115 125 130 145 a,b为常数)也是离散型随机变量，且 P =P(X=x:),i=1,2,3,…,n.E(Y)= 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，A,B分别表示甲、乙两种材料的抗拉强 3.离散型随机变量的方差、标准差 度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示 甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定 X T2 In 性较好). 【解】E(A)=110×0.1+120×0.2+125× P Pn 0.4+130×0.1+135×0.2=125. D(X)=2(x:-E(x)2p:刻画了X相对于均 E(GB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130 值E(X)的离散程度（或波动大小），称D(X)为 ×0.1+145×0.2=125. 离散型随机变量X的方差，离散型随机变量X D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120 的方差D(X)也可以用DX表示，其算术平方根 125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130 √D(X)为随机变量X的标准差： 125)2+0.2×(135-125)2=50. 11 高二数学 D(B)=0.1×(100-125)2+0.2×(115- 5.(多选)已知随机变量X的分布列如下，且 125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130 E(X)=2,则下列说法正确的是 125)2+0.2×(145-125)2=165. X 1 2 由此可见E(EA)=E(EB),D(EA)<D(GB), 故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程 P 3 度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好 【方法提升】均值、方差在决策中的作用 1 1 A.= B.m= 1 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平 n=6 3 均水平，均值越大，平均水平越高. CDX)=号 DDX)=号 (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离 6.设1为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等 散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值，方差做出 可能地取-2，一，-发0,3,2亿，用 决断. 表示坐标原点到（的距离，则随机变量专的均 厚积薄发·勤演练 值E(传)= ((( 7.“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子 1.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学 商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促 生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发 销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促 球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球 销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A, 成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X,若X的 B,C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购 均值E(X)>1.75,则p的取值范围是() 物金额满5888元.设随机