专题06空间几何体与球的切、接问题（十种模型）（I）

专题 06 空间几何体与球的切、接问题（十种模型）（I） · 知识归纳 空间几何体的外接球与内切球十大模型 1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型． · 【题型一】墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为(　　) A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D． 2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱锥B－ACD的外接球的表面积为(　　) A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π 3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________. 4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB＝2，则球O的表面积为________． 5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体积为(　　) A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　 C．27π　　　　　　　　D．27π 6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，－1)，C(0，2，1)，D(0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是(　　) A．16π　　　　　　B．12π　　　　　　C．4π　　　　　　D．6π 7．在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BDC的外接球的表面积为(　D　) A．2π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．4π 8．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为(　　) A．6π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．32π　　　　　　　　D．36π 9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A－BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为________． 10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1＝3，E是线段A1B1上一点，若二面角A－BD－E的正切值为3，则三棱锥A－A1D1E外接球的表面积为________． · 【题型二】对棱相等模型 对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． 1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________． 2．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　 　C．　　　　　　　　D． 3．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________． 4．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．则三棱锥的外接球的表面积为______. 5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝________. 6．正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　　D． · 【题型三】汉堡模型 汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 1．一直三棱柱的每条棱