夯基固本专项练（2）函数的概念与基本初等函数-2024届高考数学一轮复习

（2）函数的概念与基本初等函数 1.若在定义域R上为减函数，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.设函数为奇函数，则实数( ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 3.已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是( ) A. B. C. D. 4.已知.设,则( ) A. B. C. D. 5.若函数则函数的零点个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( ) A.4年 B.3年 C.5年 D.2年 7.生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来做出判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数.经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（）( ) A.10 B. C.100 D. 8.（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.下列命题正确的是( ) A.当时， B.函数有5个零点 C.若关于x的方程有解，则实数m的范围是 D.对，，恒成立 9. （多选）已知，下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 10. （多选）函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定( ) A.有最小值 B.没有最大值 C.单调递减 D.单调递增 11.已知函数，若，则___________. 12.已知函数则___________；若，则实数a的取值范围是___________. 13.已知函数其中.若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是____________. 14.已知函数. （1）若，求a的值； （2）判断在上的单调性并用定义证明. 15.已知定义域为R的单调函数是奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为在R上为减函数， 所以时，单调递减，即①； 时，单调递减，即②； 且③.联立①②③，得. 2.答案：A 解析：根据题意，函数为奇函数，则有，即，变形可得，则有. 3.答案：D 解析：因为是偶函数,所以的图象关于y轴对称,所以的图象关于直线对称.又在上单调递减,所以在上单调递增,因为,所以,所以由可得,或,解得.故选D. 4.答案：A 解析：因为,所以,所以,即.因为,所以,所以,即.又,所以,所以,所以,所以,而,所以,所以,所以,所以. 5.答案：B 解析：首先画出函数的图像，如图所示. 令，设，则，由图像可知或，解得，.结合图像可知，和共4个解，故选B. 6.答案：A 解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A. 7.答案：B 解析：本题考查指数函数模型的应用.当时，，则，则，则，即，故.故选B. 8.答案：AD 解析：本题考查函数的基本性质、函数的解析式、函数的零点，由于函数是定义在R上的奇函数，则当时，，，故A正确；由于函数是定义在R上的奇函数，则；当时，由，可得；结合奇函数的图象性质可知还有一个零点为，则函数有3个零点，故B错误；当时，由，得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时；由的图象知若方程有解，则，故C错误；由C项可知，当时，；而当时，，则，则对，，恒成立，故D正确，故选AD. 9.答案：AC 解析：本题考查对数的运算、指数函数、对数函数的单调性.因为，，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，，所以，故D错误，故选AC. 10.答案：BD 解析：因为函数在区间上有最小值，所以对称轴.，若，则在上单调递增，无最值；若在上单调递增，则在上单调递增，没有最值.综上，在上单调递增.故选BD. 11.答案：6 解析：因为当时，，，所以，所以，所以. 12.答案：-2， 解析：. 当时，，当时，， 综上所述，实数a的取值范围是. 13.答案： 解析：的大致图像如图所示， 若存在，使得关于x的方程有三个不同的根，则，又，所以. 14.答案：（1） （2）在上是增函数，证明见解析 解析：（1