陕西省汉中市镇巴县2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题

高二理科数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示为函数的图象，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如.对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（ ） A. 32 B. 36 C. 42 D. 60 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上单调递减，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 在长方体中，，，，分别是，中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 与平面相交 C. 与平面所成角的余弦值为 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知是两个互相垂直的单位向量，若，则__________. 14. 已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为__________. 15. 在正四棱锥中，底面正方形的边长为2，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为__________. 16. 在中，内角、、的对边分别是、、，且，则______；若的角平分线与边交于点，且，则______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知数列前项和为（为常数）. （1）若，求通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求证：. 18. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣. （1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求； （3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10