第07课 向量法求距离、探索性及折叠问题（分层练习）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第07课 向量法求距离、探索性及折叠问题 （分层练习） 【一层练基础】 1. 如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB＝8，∠BAC＝30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为(　　) A.　　　　　　　 B．2 C. D. 2. (多选)已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点O，将△ABD沿BD折起来，使顶点A至点M的位置．在折起的过程中，下列结论正确的是(　　) A．BD⊥CM B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形 C．DM与BC不可能垂直 D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60° 3. 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________． 4. 已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为________． 5. 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由. 6. 图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2.以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2. (1)证明：平面BC1E⊥平面ABED； (2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值. 7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC＝AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD到平面PBC的距离． 8. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值； (3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 9. 如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1. (1)求证：CD＝C1D； (2)求二面角A­A1D­B的平面角的余弦值； (3)求点C到平面B1DP的距离． 10. 已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED.现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB. (1)求证：平面PCE⊥平面ABCE； (2)求二面角B－PA－E的余弦值. 【二层练综合】 1. 如图1，在△ABC中，C＝90°，AC＝2BC＝4，E，F分别是AC与AB的中点，将△AEF沿EF折起，连接AC与AB，得到四棱锥A­BCEF(如图2)，G为线段AB的中点． (1)求证：FG∥平面ACE； (2)当四棱锥A­BCEF的体积最大时，求直线FG与平面AFC所成角的正弦值． 2. 如图，四棱锥P­ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC. (1)求证：平面PBC⊥平面PBD； (2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成的锐二面角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3. 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD. (1)若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C； (2)棱BC上是否存在一点E，使得平面EAD1与平面DAD1夹角的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由． 【三层练能力】 1. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小； (3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成的角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由． 2. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角A­EF­C的大小为60°，点M在线段AB上． (1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC； (2)是否