专题30 正弦定理和余弦定理-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题30正弦定理和余弦定理 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形 题型二：判断三角形的形状 题型三：与三角形面积有关的问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 【考点预测】 1．正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)asin B ＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 3．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 【常用结论】 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：＝－. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C． (2)cos(A＋B)＝－cos C． (3)sin＝cos . (4)cos＝sin . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B． 【方法技巧】 1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. 2.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 3.判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5.与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 二、【题型归类】 【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形 【典例1】(2021·北京)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝. (1)求B的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度． ①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝. 【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b. (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC. 【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C. (1)求A； (2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a. 【题型二】判断三角形的形状 【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【典例2】(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 【典例3】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．非钝角三角形 【题型三】与三角形面积有关的问题