精品解析：上海市黄浦区2022-2023学年高二下学期期末统考数学试卷

黄浦区2022学年第二学期高二年级数学区统考 2023.6 一、填空题（本题共有12题，满分36分） 1. 直线与直线的夹角为______； 2. 两直线与平行，则的值是______； 3. 双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线标准方程为______． 4. 双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________． 5. 设直线与圆相交所得弦长为，则______； 6. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________． 7. 已知无穷数列满足，且，则________. 8. 在正项等比数列中，有，则______； 9. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为______尺； 10 已知数列满足，，则_______. 11. 已知在区间上，如图所示的图像中，______有可能表示函数的图像. 12. 设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为____________． 二、选择题（本题共有4题，满分12分） 13. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内含 D. 内切 14. 已若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是 A B. C. D. 15. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的斜率是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 三、解答题（本题共有5题，满分52分） 17. 已知数列的前项和为. （1）求证：数列等差数列； （2）求的最大值及取得最大值时的值. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 19. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5， （1）求抛物线的方程； （2）若斜率为1直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程. 20. 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点． （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间， （1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，； （2）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄浦区2022学年第二学期高二年级数学区统考 2023.6 一、填空题（本题共有12题，满分36分） 1. 直线与直线的夹角为______； 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两直线的斜率，再由两角差的正切公式求出夹角. 【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为 所以两直线的夹角为. 故答案为：. 2. 两直线与平行，则的值是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件即可求出． 【详解】因为两直线与平行， 当时，显然与不平行， 当时，有，解得， 故答案为：． 3. 双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率得出的关系，代入点求解即可. 【详解】因为双曲线离心率为2，所以，所以，即， 点代入双曲线方程得：，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 4. 双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案. 【详解】的右焦点为，渐近线方程为， 不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为. 故答案为：2 5. 设直线与圆相交所得弦长为，则______； 【答案】 【解析】 【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线，即的距离， 由圆的弦长公式，即，得， 所以，解得， 经检验，满足题意，所以 故答案为：. 6. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 【详解】∵在椭圆上 ∴ ∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号. 故答案为：9. 7. 已知无