2022年达利学科竞赛高二数学试卷

第 1 页 共 5 页 高二数学 （时间：120 分钟 满分：150 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1.已知数列{��}的前�项和�� = �2，则�3 + �4 + �5 =( ) A. 21 B. 23 C. 25 D. 50 2.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦 点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 3 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，1)，且 P(X>2c－1)＝P(X<2c＋3)，则 c=（ ） A. 1 2 B. 2 3 C. 1 D.2 4.掷一枚硬币 6 次，每次掷出正面的概率均为 2 3 ，恰好出现 k次正面的概率记为 kP，则（ ） A. 1 5P P B． 52P P C． 6 1 1k k P   D． 0P， 1P， 2P，L ， 6P中最大值为 4P 5.过抛物线�2 = 4�的焦点�，作直线�与抛物线交于�，�两点，若|��| = 3 2 ，则|��| =( ) A. 3 B.2 C. 1 3 D. 1 2 6. 从 1、2、3、4、5、6、7、8这 8个数中任取 5个不同的数，则这 5个不同的数的中位数为 5 的概率为 ( ) A. 5 28 B. 9 28 C. 9 56 D. 15 28 7.如图，线段��是圆的直径，圆内一条动弦��与��交于点�，且�� = 2�� = 2.现 将半圆���沿直径��翻折，则三棱锥� − ���体积的最大值是( ) A. 2 3 B. 1 3 C. 3 D. 1 8.已知 2 3ln, 2 3, 2 1sin  cba  ，则（ ） A. � < � < � B. � < � < � C. � < � < � D. � < � < � 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9.如图，以等腰直角三角形斜边 BC上的高 AD为折痕，把△ ABD和△ ACD折成互相垂直的两个平面后．正 确的结论是（ ） 第 2 页 共 5 页 A.BD ⋅ AC ≠ 0 B. ∠BAC = 60∘ C.三棱锥 D − ABC是正三棱锥 D. 平面 ADC的法向量和平面 ABC的法向量互相垂直． 10.有两盒乒乓球，每盒 3个球分别标记为 2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒 3 个球都已使用过．现 从两个盒子各任取 1 个球，设球的号码分别为 a，b，若事件“点  ,P a b 恰好落在直线 x y n  上”对应的 随机变量为 X ，   nP X n P  ， X 的数学期望和方差分别为 ( )E X ，  D X ，则（ ） A. 6 43P P B.   75 7 9 P X   C.   5E X  D.   4 3 D X  11.已知�1，�2分别是双曲线 C：�2 − �2=1 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一点，且以线段�1�2为 直径的圆经过点 P，则( ) A.双曲线 C的渐近线方程为� =± � B.以�1�2为直径的圆的方程为�2 + �2=1 C.点 P的横坐标为±1 D.△��1�2的面积为 2 12.已知函数�(�) = � �� − 1 3 ，�1, �2为�(�)的两个零点，则( ) A.�(�)有极值点 1 B. �( �) > �( �) C. �(2 2) > 1 � − 1 3 D. �1 + �2 > 2 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. ( 1 � − �)�的展开式中，若只有第 6项的二项式系数最大，则�2的系数为______． 14. 定 义 在 � 的 函 数 �(�) 满 足 �(�) + �(1 − �) = 2022 ， �(�) 的 导 函 数 为 �'(�) ， 则 �'( − 2021) − �'(2022) =______． 15.公差为 d （不为 0）的等差数列{ na },其前 n 项和为 Sn,若数列{ 1S4 n }也是公差为 d 的等差数列， 则 d =______ . 16.在△ ���中，已知�� = 1，�� = 2，� − � = 3� 4 ，则�� =______. 第 3 页 共 5 页 四、解答题 17.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步 道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A B C A   为某地区的一条健康步道，AB、AC为线 段，⌒BC 是以 BC为直径的半圆， 2 3AB  km， 4AC  km， 6 BAC   ． （1）求⌒BC 的长度