专题15 函数的奇偶性（九大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题15 函数的奇偶性 【题型归纳目录】 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 题型二：已知函数的奇偶性求表达式 题型三：已知函数的奇偶性求值 题型四：已知函数的奇偶性求参数 题型五：已知奇函数+M 题型六：抽象函数的奇偶性问题 题型七：奇偶性与单调性的综合运用 题型八：利用函数奇偶性识别图像 题型九：对称性与奇偶性的综合应用 【知识点梳理】 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 【典例例题】 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 例1．（2023·高一课时练习）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 例2．（2023·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 变式2．（2023·高一课时练习）已知函数，证明是定义域上的奇函数； 变式3．（2023·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求，的值； (3)证明：为定值. 题型二：已知函数的奇偶性求表达式 例4．（2023·全国·高一专题练习）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________． 例