第2章 直线与圆的位置关系 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①C　②E　③F　④D　⑤B　⑥A 考点一　切线的性质与判定 圆的切线的判定及性质在中考中是 重要考点．切线的判定有两种方法:(１)若 圆心到直线的距离等于圆的半径,则该 直线是圆的切线;(２)经过半径外端点并 且与这条半径垂直的直线是圆的切线．掌 握切线的性质,遇到切线时构造直角三 角形是解题关键．在中考中常以较为综合 的解答题形式出现,是占分值较高的重 要考点． 例 １ (浙 江 丽 水 中 考)如 图 ２Ｇ１,在 Rt△ABC中,∠C＝Rt∠,以BC 为直 径的☉O 交AB 于点D,切线 DE 交 AC 于点E． 图２Ｇ１ (１)求证:∠A＝∠ADE; (２)若AD＝１６,DE＝１０,求BC 的长． 分析:(１)连结OD,根据切线的性质和同 圆的半径相等,得到相对应的角的关 系,即可证明． (２)连结CD．由(１)中的∠ADE＝∠A 可得AE＝DE;由∠ACB＝９０°,可得 ２７ EC 是☉O 的切线,由切线长定理易得 DE＝EC,则 AC＝２DE,由勾股定理 求出CD;设BD＝x,再由勾股定理得 BC２＝x２＋CD２,BC２＝(x＋AD)２－ AC２,从而可得方程x２＋CD２＝(x＋ AD)２－AC２,解出x 的值,再重新代 入原方程,即可求出BC 的长． (１)证明:如图２Ｇ２,连结OD． 图２Ｇ２ 因为DE 是☉O 的切线, 所以∠ODE＝９０°, 所以∠ADE＋∠BDO＝９０°． 因为∠ACB＝９０°, 所以∠A＋∠B＝９０°． 又因为OD＝OB,所以∠B＝∠BDO, 所以∠A＝∠ADE． (２)解:如图２Ｇ２,连结CD． 因为∠ADE＝∠A, 所以AE＝DE． 因为BC 是☉O 的直径,∠ACB＝９０°． 所以EC 是☉O 的切线,∠BDC＝９０°, 所以DE＝EC, 所以AE＝EC． 又因为DE＝１０,所以AC＝２DE＝２０． 在Rt△ADC 中, CD＝ ２０２－１６２ ＝１２． 设BD＝x． 在Rt△BDC 中, BC２＝x２＋１２２． 在Rt△ABC 中,BC２＝(x＋１６)２－２０２． 所以x２＋１２２＝(x＋１６)２－２０２,解得 x＝９． 所以BC＝ １２２＋９２ ＝１５． 考点二　切线长定理 利用 切 线 长 定 理 可 以 得 出 线 段 相 等、角相等以及垂直关系,在各类题型中 均有可能涉及． 图２Ｇ３ 例２如图２Ｇ３,△ABC 是 一张 三 角 形 的 纸 片, ☉O 是它的内切圆,点 D 是 其 中 的 一 个 切 点,已知AD＝１０cm, 小明准备用剪刀沿着与☉O 相切的任 意一 条 直 线 MN 剪 下 一 块 三 角 形 (△AMN),则剪下的△AMN 的周长 (　　) A．等于２０cm B．等于１５cm C．等于１０cm D．随直线 MN 位置的变化而变化 图２Ｇ４ 解析:如图２Ｇ４,设 E,F 分别是AC 和 MN 与 ☉O 的切点, 则 DM ＝MF,FN ＝ EN,AD＝AE, 所以 AM ＋AN ＋MN ＝AD＋AE＝ １０＋１０＝２０(cm)．故选 A． 答案:A 考点三　三角形的内切圆 三角形的内切圆是中考中的重要考 点,主要考查利用三角形内心的性质进 行计算或证明．解答时,常依据切线的性 质构造直角,再利用直角三角形、矩形或 正方形的知识来解决,一般以选择题、填 空题的形式出现,有时与其他知识综合 ３７ 考查,出现在解答题中． 例３如图２Ｇ５,AC 是矩形ABCD 的对角 线,☉O 是△ABC 的内切圆,现将矩 形ABCD 按如图２Ｇ５所示的方式折 叠,使点D 与点O 重合,折痕为FG．点 F,G 分别在边AD,BC 上,连结OG, DG．若OG⊥DG,且☉O 的半径长为 １,则下列结论不成立的是 (　　) 图２Ｇ５ A．CD＋DF＝４ B．CD－DF＝２３－３ C．BC＋AB＝２３＋４ D．BC－AB＝２ 解析:如图２Ｇ６所示,设☉O 与BC 的切 点 为 M,连 结 MO 并 延 长 交 AD 于 点N． 图２Ｇ６ 因为将矩形ABCD 按如图２Ｇ５所示的 方式折叠,使点D 与点O 重合,折痕为 FG,所以OG＝DG． 因为OG⊥DG, 所以∠MGO＋∠CGD＝９０°． 因为∠MOG＋∠MGO＝９０°, 所以∠MOG＝∠CGD． 在△OMG 和△GCD 中, ∠OMG＝∠GCD＝９０°, ∠MOG＝∠CGD, OG＝GD, ì î í ï ï ï ï 所以△OMG≌△GCD, 所以CG＝OM＝１,CD＝MG＝BC－ BM－GC＝BC－２． 因为AB＝CD,所以BC－AB＝２． 设AB＝a,BC＝b,AC＝c,☉O 的半 径为r． 由☉O 是 Rt△ABC 的 内 切 圆