2.3 三角形的内切圆-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

２．３　三角形的内切圆 知识点一　三角形的内切圆 相关概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,圆 心叫做三角形的内心,三角形叫做圆的外切三角形． 性质 (１)三角形的三边与其内切圆都相切; (２)三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点, 到三边的距离相等,且内心一定在三角形内部． 画法 作出三角形的两条角平分线,它们的交点就是内切 圆的圆心,从这一点向三角形的任意一条边作垂线 段,这条垂线段的长度就是内切圆的半径． 【例１】如图２．３Ｇ１,☉O 内切于△ABC,切点分别为D, E,F．已知∠B＝５０°,∠C＝６０°,连结 DE,DF,那么 ∠EDF 等于 (　　) 图２．３Ｇ１ A．４０°　　　　B．５５°　　　　C．６５°　　　　D．７０° 解析:连结OE,OF(图略)． 因为☉O 内切于△ABC, 所以AB,AC 是☉O 的切线, 所以OE⊥AB,OF⊥AC, 所以∠AEO＝∠AFO＝９０°． 因为∠B＝５０°,∠C＝６０°, 'F (１)“内切”“外切”只不过是 “参照物”不同而已,“内”是 相对于三角形说的,“外”是 相对于圆说的． (２)三角形各顶点都在圆上 是“接”,三角形的边都与圆 相切是“切”． (３)任意一个圆都有无数个 外切三角形,任意一个三角 形只有一个内切圆． ３６ 三角形的外心与内心的对比 外心 内心 确定 方法 三 角 形 三 边 垂 直 平 分 线 的 交点 三 角 形 三 条 角 平 分 线的交点 图形 位置 在 锐 角 三 角形内部, 直 角 三 角 形 斜 边 的 中点,钝角 三 角 形 外部 在 三 角 形 内部 性质 OA＝OB＝ OC 到 三 边 的 距离相等 如图２．３Ｇ２,☉O 为 △ABC 的 内 切 圆．连 结 OA,OB, OC,则 S△ABC ＝S△AOB ＋ S△BOC ＋S△AOC ＝ １ ２c 􀅰r＋ １ ２a 􀅰r＋ １ ２b 􀅰r＝ １ ２r 􀅰 (a＋b＋c)． 　所以∠A＝１８０°－∠B－∠C＝７０°． 所以∠EOF＝３６０°－∠AEO－∠AFO－∠A＝１１０°． 所以∠EDF＝ １ ２∠EOF＝５５°． 答案:B 三角形内切圆的辅助线的常用作法 　　当三角形的内心已知时,可以连结内心与各边 上的切点,从而得到直角,以便求解未知的角． 知识点二　三角形内切圆的半径 　求三角形内切圆半径的常用方法 (１)三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个 三角形的面积,即S△ABC＝ １ ２r (a＋b＋c),其中r为内 切圆的半径,a,b,c 分别为 △ABC 的三边的长,故 r＝ ２S△ABC a＋b＋c． (２)直角三角形的直角顶点到直角边上的切点的距离 等于内切圆的半径． 【例２】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６,BC＝８,则 △ABC 的内切圆半径r＝　　　　． 解析:如图２．３Ｇ３,☉O 为Rt△ABC 的内切圆,切点分别 为D,E,F,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF, 图２．３Ｇ３ 则OD＝OE＝OF＝r． 在 Rt△ABC 中, AB＝ AC２＋BC２ ＝ ６２＋８２ ＝１０． 因为S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC, ４６ 　所以 １ ２BC 􀅰AC＝ １ ２AB 􀅰r＋ １ ２BC 􀅰r＋ １ ２AC 􀅰r, 所以 １ ２BC 􀅰AC＝ １ ２ (AB＋BC＋AC)􀅰r, 所以 １ ２×８×６＝ １ ２× (１０＋８＋６)×r, 所以r＝２． 答案:２ 　　求三角形内切圆的半径,一般用等面积法,即根 据不同三角形面积的表达式列方程求解． B C A ab r r r O c 图２．３Ｇ２ 直角三角形内切圆 半径的求法 若直角三角形的两直角边长 分别为a,b,斜边长为c,则 其内切圆半径r＝ a＋b－c ２ ． 题型一　三角形内切圆的作图问题 图２．３Ｇ４ 【例１】为迎接国庆节,某公园要对园内 环境进行美化,计划在一块三角形空 地内(如图２．３Ｇ４)建一个面积最大的 圆形花坛．请你画出圆形花坛的示 意图． 审题关键:面积最大的圆形花坛是三角形的内切圆, 画出它的内切圆即可． 破题思路: C D GB A E F 图２．３Ｇ５ 解:如图２．３Ｇ５． (１)分别作∠ABC,∠ACB 的 平分线BD,CE,BD 与CE 相 交于点F; (２)作FG⊥BC,垂足为G; (３)以点F 为圆心,FG 的长为 半径画☉F,则☉F 即为所求 的面积最大的圆． １．如图２．３Ｇ６,某市有一块由 三条马路围成的三角形绿 地,现准备在其中建一座 小亭供人们休息,使小亭 到三条马路的距离相等, 试确 定 小 亭 的 中 心 位 置 (不 写 作 法,保 留 作 图 痕迹)． 图２．３Ｇ６ ５６ ２．如 图 ２