3.2 不等式的基本性质-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（浙教版)

３．２　不等式的基本性质


● 理解不等式的三个基本性质,并能与等式的基本 性质区分． ● 会用不等式的基本性质进行简单的不等式变形． 　　　 J 知识点一　不等式的基本 性质１ 　不等式的基本性质１:a＜b,b＜c⇒ a＜c． 这个性质也叫做不等式的传递性． '. 　　不等式的这个性质利用中间量 b比较了a 和c的大小．因此,如果难 以直接比较两个量的大小时,可以选 择一个与这两个量都容易比较的中 间量作为“桥梁”,这样要比较的两个 量的大小关系就容易确定了．  　　不等式的对称性:若a＞b,则 b＜a;若b＜a,则a＞b． 【例１】(１)如果x＜０．３,而０．３＜１,那么 x １; (２)如 果 a ＜３,而 b ＞３,那 么 a b． 解析:(１)根据不等式的传递性可知,x＜１． (２)a＜３,３＜b,所以根据不等式的传递 性可知,a＜b． 答案:(１)＜　(２)＜ 知识点二　不等式的基本 性质２ (１)文字语言:不等式的两边都加上 (或减去)同一个数,所得到的不等式 仍成立． (２)符号语言: a＞b⇒a＋c＞b＋c,a－c＞b－c; a＜b⇒a＋c＜b＋c,a－c＜b－c． '. 　　(１)“两边”是指不等号的左右 两边． 　　(２)“同加或同减”的可以是同一 个数,也可以是同一个式子． 【例２】根据等式和不等式的基本性质, 我们可以得到比较两数大小的方法: ７２１ (１)若a－b＞０,则a b; (２)若a－b＝０,则a b; (３)若a－b＜０,则a b． 解析:(１)因为a－b＞０,所以a－b＋ b＞０＋b,即a＞b; (２)因为a－b＝０,所以a－b＋b＝０＋ b,即a＝b; (３)因为a－b＜０,所以a－b＋b＜０＋ b,即a＜b． 答案:(１)＞　(２)＝　(３)＜ 4 　　这种比较大小的方法称为作差 法,这为我们提供了一个比较两数大 小关系的方法． 知识点三　不等式的基本 性质３ (１)文字语言:不等式的两边都乘(或 都除以)同一个正数,所得的不等式仍 成立;不等式的两边都乘(或都除以) 同一个负数,只有改变不等号的方向, 所得的不等式才成立． (２)符号语言: a＞b,且c＞０⇒ac＞bc, a c＞ b c ; a＞b,且c＜０⇒ac＜bc, a c＜ b c． '. 　　不等式两边都乘(或都除以)同 一个数时,先对数的属性进行判断: ①是否为０,②正负性;再运用不等 式的基本性质３,判断是否需要改变 不等号的方向． 【例３】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜ a”的形式: (１)－ x ２＜－３ ; (２)－３x＞９; (３)５x＋１０＞２０． 解:(１)根据不等式的基本性质３,不等 式两边都乘－２,得x＞６． (２)根据不等式的基本性质３,不等式 两边都除以－３,得x＜－３． (３)根据不等式的基本性质２和基本 性质３,不等式两边先同时减去１０,再 同时除以５,得x＞２． 知识点四　等式的基本性质与 不等式的基本性质的对比 等式的基本性质与不等式的基本性质 在某些方面有相同之处,也有不同之 处．比较如下: 名称 不同点 相同点 不等式 两边 都 乘 (或 都 除 以)同一个负数,不 等号要改变方向 等式 两边 都 乘 (或 都 除 以)同一个负数,等 式仍然成立 (１)两边都加 上 (或 减 去) 同一个数,不 等 式 和 等 式 仍成立; (２)两边都乘 (或 都 除 以 ) 同一个正数, 不 等 式 和 等 式仍成立 ８２１ 类型一　利用不等式的基本 性质比较代数式的大小 【题根１】已知a＞b,比较６a－b与 １ ２ (３a＋ ７b)的大小． 审题关键:首先求出６a－b与 １ ２ (３a＋ ７b)的差,然后根据不等式的基本性 质,由a＞b,可得a－b＞b－b,即 a－b＞０,据此可以判断出６a－b 与 １ ２ (３a＋７b)的大小． 解:(６a－b)－ １ ２ (３a＋７b)＝６a－b－ ３ ２a－ ７ ２b＝ ９ ２a－ ９ ２b＝ ９ ２ (a－b)． 因为a＞b, 所以a－b＞b－b,即a－b＞０． 所以 ９ ２ (a－b)＞０． 所以(６a－b)－ １ ２ (３a＋７b)＞０, 所以６a－b＞ １ ２ (３a＋７b)． ?  　　解决此类问题,一般采用作差法 比较,即比较两式之差与０的大小． １．当a＝ ３－２时,比较２a＋３与８的 大小． 类型二　利用不等式的 基本性质将不等式变形 【题根２】把下列不等式化成“x＞a”或 “x＜a”的形式: (１)x＋５＞１２; (２)３x＜１＋２x; (３) x ５＞２ ; (４)２x＋５＜４x－２． 审题关键:理解并能灵活运用不等式 的基本性质是解决本题的关键． 解:(１)根据不等式的基本性质２,不等 式两边