第6章 模型专题 线段、角解题模型-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（浙教版)

第６章　图形的初步知识 ２６１　 0  0 模型专题 模型一　线段双中点模型 １．线段双中点是指一条线段上有两个中 点,此时可以根据线段的关系及线段中 点的 意 义,求 得 两 个 中 点 间 线 段 的 长度． ２．解题思路:题干中出现线段的两个中 点,分别找出被中点平分的两条线段, 借助线段之间的关系进行计算． ３．模型类型:两线段共线且有一个公共端 点,求两个中点的距离． 已知:线段AB,BC 共线,点 M,N 分 别为AB,BC 的中点,求 MN 的长度． 分两种情况: (１)两线段除一个端点外无公共部分 如图 ６Ｇ１ 所 示,MN ＝BM ＋BN ＝ １ ２AB＋ １ ２BC＝ １ ２ (AB＋BC)＝ １ ２AC． 图６Ｇ１ 结论:两个中点的距离＝共端点的两线 段和的一半＝另外两端点距离的一半． (２)两线段除一个端点外有其他公共 部分 如图６Ｇ２所示,不妨设 AB＞ BC,则 MN ＝BM －BN ＝ １ ２AB－ １ ２BC＝ １ ２ (AB－BC)＝ １ ２AC． 图６Ｇ２ 结论:两个中点的距离＝共端点的两线 段差的一半＝另外两端点距离的一半． 【例１】如图６Ｇ３,点C 在线段AB 上,且 点 M,N 分别是AC,BC 的中点． 图６Ｇ３ (１)如果AC＝６cm,BC＝１４cm,求线 段 MN 的长度． (２)在(１)中,如果 AC＝acm,BC＝ bcm,其他条件不变,你能猜测出 MN 的长度吗? 请说出你发现的结论,并 说明理由． 思路分析 知条件　点 M,N 分别是AC,BC 的 中点．AC,BC 的长度． 套模型　线段 AC 和线段CB 除一个 端点C 外无公共部分,套用 线段双中点模型,得中点 M, N 之 间 的 距 离＝ １ ２ (AC＋ BC)＝ １ ２AB． 解 (１)因为AC＝６cm,BC＝１４cm, 点 M,N 分别是AC,BC 的中点, 所以 MC＝３cm,NC＝７cm, 所以 MN＝MC＋NC＝１０cm． 数学　七年级　上册 ２６２　 0  0 (２)MN＝ １ ２ (a＋b)cm．理由如下: 因为AC＝acm,BC＝bcm,点 M,N 分别是AC,BC 的中点, 所以 MC＝ １ ２acm ,NC＝ １ ２bcm , 所以 MN＝MC＋NC＝ １ ２ (a＋b)cm． 模型二　双角平分线模型 １．双角平分线是指在角中有两条角的平 分线,根据被平分的两个角之间的关系 以及角平分线的定义,可以求得两条角 平分线所构成的角的大小． ２．解题思路:题干中出现两条角的平分 线,分别找出被平分的两个角,借助各 个角之间的关系进行计算． ３．模型类型:两角共一条边,求角平分线 的夹角 已 知:OM 平 分 ∠AOB,ON 平 分 ∠BOC,求∠MON 的度数． 分两种情况: (１)两角除一条边外无公共部分 如图６Ｇ４所 示,∠MON ＝∠BOM ＋ ∠BON ＝ １ ２ ∠AOB ＋ １ ２ ∠BOC ＝ １ ２ (∠AOB＋∠BOC)＝ １ ２∠AOC． 图６Ｇ４ 结论:角平分线的夹角＝共边两角和的 一半＝另外两条边夹角的一半． (２)两角除一条边外仍有公共部分 如 图 ６Ｇ５ 所 示,不 妨 设 ∠AOB ＞ ∠BOC, 则 ∠MON ＝ ∠BOM － ∠BON ＝ １ ２∠AOB－ １ ２∠BOC＝ １ ２ (∠AOB－ ∠BOC)＝ １ ２∠AOC． 图６Ｇ５ 结论:角平分线的夹角＝共边两角差的 一半＝另外两条边夹角的一半． 【例 ２】已 知∠AOB＝１０８°,∠BOC＝ ２２°,射线 OD,OE 分别是∠AOB 和 ∠BOC 的平分线,求∠DOE 的度数． 思路分析 知条件　∠AOB＝１０８°,∠BOC＝２２°, 射线OD,OE 分别是∠AOB 和∠BOC 的平分线． 套模型　由于本题没有图形,需要进行 分类讨论:一是两角除一条边 外仍有公共部分,角平分线的 夹角＝共边两角差的一半＝ 另外两条边夹角的一半;二是 两角除一条边外无公共部分, 角平分线的夹角＝共边两角 和的一半＝另外两条边夹角 的一半． 解 (１)当OC 在∠AOB 的内部时,如图 ６Ｇ６所示． 第６章　图形的初步知识 ２６３　 0  0 因为OE 是∠BOC 的平分线, 所以∠BOE＝∠COE＝ １ ２∠BOC． 因为OD 是∠AOB 的平分线, 所以∠AOD＝∠BOD＝ １ ２∠AOB． 又因为∠AOB＝１０８°,∠BOC＝２２°, 所以∠DOE＝ １ ２ (∠AOB－∠BOC)＝ １ ２×８６°＝４３°． 图６Ｇ６ (２)当 OC 在∠AOB 的外部时,如图 ６Ｇ７所示． 因为OE 是∠BOC 的平分线, 所以∠BOE＝∠COE＝ １ ２∠BOC． 因为OD 是∠AOB 的平分线, 所以∠AOD＝∠BOD＝