3.1 投影-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（湘教版)

第３章　投影与视图 ３．１　投　影 知识点一　投影的有关概念 有关概念 内容 投影 光线照射物体,会在平面上(如地面、墙壁) 留下它的影子,把物体映成它的影子叫作 投影 投影线 照射的光线叫投影线 投影面 投影所在的平面叫投影面 物体的投影 物体在投影下的像简称为物体的投影 【例１】图３．１Ｇ１是红红小朋友在阳光照射下形成的投 影,请在图中画出投影线． 图３．１Ｇ１ 解:如图３．１Ｇ２,连接AA′,AA′所在的线即投影线． 图３．１Ｇ２ (１)形成投影的条件: ①要有物体存在; ②要有光线; ③要有一个呈现投影的面, 即投影面． (２)物体的投影的形状、大 小与它相对于投影面的位 置有关,也与照射它的光线 有关． (１)点的投影一定是点． (２)线 段 的 投 影 为 点 或 线段． (３)若 一 点 在 某 一 条 线 段 上,则这点的投影一定在该 线段的投影上． １６１ (１)解平行投影相关问题 时,通常会涉及全等三角 形和相似三角形． (２)平行投影一定是投影, 但 投 影 不 一 定 是 平 行 投影． 光线移动时,物体影子的 大小、方向也随着变化．就 我国北方地区而言,从早 晨到傍晚,物体影子的指 向是 西 → 西 北 → 北 → 东 北→东,影 子 长 度 的 变 化 为长→短→长． 确定物体在光线照射下形成投影的投影线的方法 确定物体上一个关键点或边缘点,经过该点与它 在投影中的对应点的线就是投影线． 知识点二　平行投影 平行投影:从太阳射到地面的光线可以看成平行光线, 物体在平行光线的照射下所形成的投影称为平行投 影,如图３．１Ｇ３所示． 图３．１Ｇ３ 平行投影的规律 (１)同一时刻,等高的物体垂直于同一地面(投影面) 放置时,它们在太阳光(太阳光可以看成平行光线)下 的影子的长度相同． (２)同一时刻,等长的物体平行于同一地面(投影面) 放置时,它们在太阳光(太阳光可以看成平行光线)下 的影子的长度相同,且影长等于物体本身的长度． (３)同一时刻,同一地点,不同物体的高度与其在太阳 光下的影长之比相等,即 甲物高 甲物影长＝ 乙物高 乙物影长． (４)同一时刻,距离较近的物体在阳光下的影子落在 地面上的方向总是相同的． 【例２】在一个晴朗的上午,小丽拿着一块矩形木板在阳 光下做投影实验,矩形木板在地面上形成的投影不可 能是 (　　) A B C D 解析:因为矩形的对边平行,所以矩形木板在阳光下的投 影的对边仍然平行或者重合,故矩形木板在地面上形 成的投影不可能是 A． ２６１ 答案:A 　　太阳光线可以看成平行光线,两平行线段在投影 面上的影子(为线段时)重合或平行． 知识点三　中心投影 图３．１Ｇ４ 中心投影:如果光线从一 点发出(如灯泡、电影放 映机、幻灯机的光线),这 样的投影称为中心投影, 如图３．１Ｇ４． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:中心投影一定是 投影,但投影不一定是 中心投影． 中心投影的基本特征 (１)中心投影的投影线交于一点,交点就是点光源的 位置; (２)中心投影的点光源可视为一点,它发出的光线是 发散的,不平行的; (３)点光源、物体上的点及其投影上的对应点三点共线; (４)如果一个平面图形所在的平面与投影面平行,那 么其中心投影与原图形也是平行的,并且与原图形 相似． 图３．１Ｇ７ 【例３】如图３．１Ｇ７所示,晚上小亮在 路灯下散步,在小亮由A 处走到B 处这一过程中,他在地面上的影子 的长度 (　　) A．逐渐变短　　　　　　　 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 (１)形成中心投影的光线是 不平 行 的,方 向 也 不 尽 相 同,不同物体的影长之比一 般不等于其物高之比． (２)在中心投影中,若不改 变物体的位置,只改变投影 方向,物体的影子会随着投 影方向的改变而改变． (３)生活中的手电筒、路灯、 台灯等也可看作中心投影 中的点光源． (１)等高的物体垂直于地面 放置时(如图３．１Ｇ５所示), 在灯光下,离点光源近的物 体,它的影子短;离点光源 远的物 体,它 的 影 子 长．物 体在点光源正下方时,影子 最短． 图３．１Ｇ５ ３６１ (２)等长的物体平行于地 面放 置 时(如 图 ３．１Ｇ６ 所 示),在灯光下,离点光源 越近,影子越长;离点光源 越远,影子越短,但不会比 物体本身的长度短． 图３．１Ｇ６ 正投影形成的条件 (１)光线是平行光线; (２)光线与投影面垂直． 解析:因为A 处在路灯的左侧