第2章 一元二次方程 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

数学　九年级　上册 ７８　 考前复习笔记 专题一　一元二次方程的有关概念 　　一元二次方程的一般形式是ax２＋ bx＋c＝０(a≠０),其中的a≠０是决定方程 为一元二次方程的必备条件．只有满足a≠ ０,ax２＋bx＋c＝０才是一元二次方程． 判断某些值是否为一元二次方程的 根,只需将它们代入方程中,看方程左右 两边的值是否相等．若左右两边的值相 等,则这个值是一元二次方程的根;若不 相等,则这个值不是一元二次方程的根． 【例１】已知关于x 的方程(m＋５)x|m|－３－ mx－１＝０ 是 一 元 二 次 方 程,求 m 的值． 思路分析 此题主要考查了一元二次方程 的定义,要判定一个方程为一元二次 方程,必须紧扣定义,除了“一元”“二 次”这两个条件,当方程的表达式中有 未知的字母时,还要限制字母取值,保 证其二次项系数不为０． 第２章　一元二次方程 ７９　 0  0 解 根据题意,得 |m|－３＝２ , m＋５≠０,{ 解得m＝５．  　　抓住两点,一元二次方程无所遁形 若方程是一元二次方程,则紧扣 概念可知,其必须满足两点:(１)二次 项系数不为０;(２)未知数的最高次数 是２．在求一元二次方程二次项系数或 未知数次数上的未知字母取值的问题 中,此两点将是解题的重要依据,有着 不可或缺的作用． 专题二　一元二次方程的解法 　　解一元二次方程是本章的基础,它 的解法共有四种,即直接开平方法、因式 分解法、配方法、公式法．这四种解法各有 所长,解题时要根据题目的特点,选择适 当的方法求解． (１)若方程符合a(x－n)２＝m(am≥０, a≠０)的形式,则用直接开平方法解方程 比较简单．对于一元二次方程的一般形式 ax２＋bx＋c＝０(a≠０),当b＝０时,用 直接开平方法较好;当c＝０时,用因式 分解法比较简单． (２)关于x 的一元二次方程ax２＋bx＋ c＝０(a≠０),当a,b,c 均不为０且不易 因式分解时,一般采用公式法． (３)配方法也是解方程的一种重要方法, 但解题步骤较为烦琐,所以只要题目没 有明确指出必须使用配方法解题,一般 不采用此法． (４)当一元二次方程等号右边是０,且等号 左边易于分解因式时,可用因式分解法． 总之,一元二次方程的四种解法中,选取 的优先顺序为直接开平方法→因式分解 法→公式法→配方法． 【例２】选择适当的方法解下列一元二次 方程: (１)(x－２)(x＋３)＝６６; (２)x２＋x＝３＋ ３; (３)x２－b２＝a(３x－２a＋b)． 解 (１)将原方程化为一般形式,得 x２＋x－７２＝０． 把方程左边分解因式,得 (x＋９)(x－８)＝０． 所以x＋９＝０或x－８＝０． 所以x１＝－９,x２＝８． (２)将原方程化为一般形式,得 x２＋x－３－ ３＝０． 把方程左边分解因式,得 (x－ ３)(x＋１＋ ３)＝０． 所以x－ ３＝０或x＋１＋ ３＝０． 所以x１＝ ３,x２＝－１－ ３． (３)将原方程化为一般形式,得 x２－３ax＋２a２－ab－b２＝０． Δ＝(－３a)２－４(２a２－ab－b２)＝(a＋ ２b)２≥０, 所以x＝ ３a±(a＋２b) ２×１ , 所以x１＝２a＋b,x２＝a－b．  四法解一元二次方程, 有序选择更易求解 解一元二次方程共有四种方法, 一般先考虑直接开平方法或因式分解 法,若不可行,则看二次项系数和一次 项系数,若二次项系数为１,一次项系 数为偶数,则考虑配方法,其他情况都 可以用公式法． 数学　九年级　上册 ８０　 专题三　 一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系 根的判别式 Δ＝b２－４ac 描 述 Δ＞０⇔方程有两个不相等的 实数根; Δ＝０⇔方程有两个相等的 实数根; Δ＜０⇔方程没有实数根 作 用 不解方程即可判断方程有 无实根;在解含未知系数的 一元二次方程中起限制作 用,即未知系数的取值要保 证方程有实根 前 提 方程为一元二次方程,即一 定要保证二次项系数a≠０ 根与系数 的关系 描 述 x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a 作 用 不解方程,通过系数就能反 映两根特征 前 提 b２－４ac≥０(a≠０) 【例３】(四川南充中考)已知关于x 的一 元二次方程x２－６x＋(２m＋１)＝０有 实数根． (１)求m 的取值范围; (２)如果方程的两个实数根为x１,x２, 且２x１x２＋x１＋x２≥２０,求m 的取值 范围． 思路分析 (１)根据判别式的意义得到Δ＝ (－６)２－４(２m＋１)≥０,然后解不等式 即可; (２)根据根与系数的关系得到x１＋x２＝ ６,x１x２ ＝２m ＋１,再 利 用 ２x１x２ ＋ x１＋x２≥２０得到２(２m＋１)＋６≥２０, 然后通过解不等式和利用(１)中的结 论可确定满足条