第1章 反比例函数 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

第１章　反比例函数 ２７　 考前复习笔记 专题一　反比例函数表达式的确定 　　反比例函数表达式有三种常见形 式:①y＝ k x (k≠０);②y＝kx－１(k≠０); ③xy＝k(k≠０)．在用定义法确定函数表 达式时常选择②,而用待定系数法确定 函数表达式时,常用①和③． 【例１】已知函数y＝(m＋１)x２|m|－５是反 比例函数,且图象在第二、四象限内, 则反比例函数的表达式为　　　　． 解析 根据题意,得 ２|m|－５＝－１ , m＋１＜０,{ 解得 m＝±２, m＜－１,{ 所以m＝－２, 所以反比例函数的表达式为y＝－ １ x． 答案y＝－ １ x " 反比例函数表达式速“现形” 切记下面两个“关键”,只要一个 不少,任何表达式都将无所遁形! (１)比例系数k≠０; (２)自变量的次数为－１． 专题二　反比例函数的图象和性质 　　反比例函数的图象位置和性质都是 由比例系数k的符号决定的,并且反比 数学　九年级　上册 ２８　 例函数图象的两个分支分别在两个不同 的象限内,所以只能在每个分支上研究 其变化趋势．反比例函数的图象和性质是 中考考查的热点内容之一,并经常与一 次函数、几何图形综合命题． 【例２】若反比例函数y＝ k－１ x 的图象位 于第二、四象限,则k的取值可能是 (　　) A．０　　　　　　　B．２ C．３ D．４ 解析 因为反比例函数y＝ k－１ x 的图象位 于第二、四象限,所以k－１＜０,即k＜ １．故选 A． 答案 A  　　反比例函数图象与k的联系 反比例函数比例系数k 的符号 可以决定双曲线的位置．反过来,根据 双曲线的位置也可以判断出k 的符 号． 专题三　比例系数k几何意义的应用 　　反比例函数的比例系数k 具有一定 的几何意义,|k|等于反比例函数图象上 任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标 轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的 图象中,涉及三角形或矩形的面积时,常 用比例系数k的几何意义求解． 【例３】如图１Ｇ１,反比例函数y＝ k x (k＞ ０)的图象与矩形ABCO 的两边相交于 E,F 两点,若E 是AB 的中点,S△BEF＝ ２,则k的值为 ． 图１Ｇ１ 解析 设 E (a, k a ) ,则 点 B 的 坐 标 为 (２a, k a ) ．所以点F 的横坐标为２a , 代入反比例函数表达式得到纵坐标 为 k ２a ,所以BF＝ k a－ k ２a＝ k ２a ,所以 F 为BC 的中点．连接OF(图略),则 S△OCF＝ １ ２×OC×CF＝ １ ２×２a× |k| ２a ＝ １ ２k＝ １ ２×２×BE ×BF ＝ ２S△BEF＝２×２＝４．所以k＝８． 答案８  设而不求,巧过渡 本题中函数表达式及各点坐标都 是未知的,显然只有一个未知系数k 难以解题,而用“设而不求”的方法代 入新的未知数a(在解题中,a 只起桥 梁的作用,最终会被约去,不必求出, 即真正的待定系数只有k 一个),并表 示出各点的坐标,利用函数关系计算, 最终约去a 就可以解决了． 专题四　 反比例函数与一次函数的 综合应用 　　在中考中,反比例函数y＝ k x (k≠０) 第１章　反比例函数 ２９　 和一次函数y＝ax＋b(a≠０)结合起来 的考查形式较常见．此类问题常见的考查 类型有: (１)利用已知条件确定两类函数表达式; (２)关于两个函数图象的交点坐标问题; (３)比较两个函数值的大小; (４)求相关几何图形的面积; (５)在同一平面直角坐标系中考查两类 函数图象的共存性． 【例４】如图１Ｇ２所示,一次函数y＝mx＋１ 的图象与反比例函数y＝ k x (k＞０)的 图象在第一象限有公共点A(１,２),直 线l⊥x 轴于点N(３,０),与一次函数 和反 比 例 函 数 的 图 象 分 别 交 于 点 B,C． 图１Ｇ２ (１)分别求出这两个函数的表达式; (２)求△ABC 的面积． 思路分析 (１)两函数表达式各含有一个 未知数,故直接将公共点坐标分别代 入即可; (２)△ABC 的面积不易直接求出,此时 可用作差法．如图１Ｇ３,选择易求面积 的△BDN,△ADE 和梯形AENC,通 过面积的差确定△ABC 的面积． 解 (１)将A(１,２)代入反比例函数表达式 y＝ k x 中,得２＝ k １ ,解得k＝２． 所以反比例函数的表达式为y＝ ２ x． 将A(１,２)代入一次函数表达式y＝ mx＋１中,得m＋１＝２,解得m＝１． 所以一次函数的表达式为y＝x＋１． (２)设一次函数的图象与x 轴的交点 为点D,过点A 作AE⊥x 轴于点E, 如图１Ｇ３． 图１Ｇ３ 在一次函数y＝x＋１中,当y＝０时, x＝－１,所以OD＝|－１|＝１． 因为A(１,２),所以AE＝２． 因为 N(３,０