2.1 一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（湘教版)

３８　   - @   第２章　一元二次方程 ２．１　一元二次方程   > M 判断 一 个 方 程 是 否 为 一 元二次方程,应以化简后 的结 果 为 准,例 如,一 个 方程 化 简 前 未 知 数 的 最 高次数是２,但化简后未 知数的最高次数是１,那 它就不是一元二次方程． 知识点一　一元二次方程的概念 满足以下三个条件的就是一元二次方程: 【例１】下列关于x 的方程中,哪些一定是一元二次 方程? (１)３x２＋ １ x－２＝０ ; (２)３x２－ ２ ４x－ １ ２＝０ ; (３)x２＝６; (４)x２－xy＋１＝０;(５)－２x２＝０; (６)２x２＋２x＝５＋２x２; (７)(m－３)x２－ ３x－２＝０． 解 (１)分母中含有未知数,不是整式方程,所以它不 是一元二次方程; (２)中含未知数x 的最高次项是 ３x２,x 的最高次数 为２,符合一元二次方程的特征,是一元二次方程; (３)整理得x２－６＝０,它是一元二次方程; (４)中含有x,y两个未知数,所以它不是一元二次方程; (５)是一元二次方程; (６)整理得２x－５＝０,未知数的最高次数是１,所以它 不是一元二次方程; 第２章　一元二次方程 ３９　 0  0 　(７)中最高次项为(m－３)x２,因无法判断(m－３)是 否为０,故不能确定该方程一定是一元二次方程． 故(２)(３)(５)一定是一元二次方程． “火眼金睛”辨一元二次方程 　　判断一个方程是否为一元二次方程,要紧扣概 念,不能只看表面形式,要先把方程进行整理,使右边 为０,再观察其是否具备以下三个条件: ①是整式方程; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是２． 三个条件缺一不可! 知识点二　一元二次方程的一般形式 【例２】将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (１)x(x－２)＝４x２－３x; (２) x２ ３－ x＋１ ２ ＝ －x－１ ２ ． 解 (１)去括号,得x２－２x＝４x２－３x． 移项、合并同类项,得－３x２＋x＝０． 其中二次项系数为－３,一次项系数为１,常数项为０． (２)去分母,得２x２－３(x＋１)＝３(－x－１)． 去括号、移项、合并同类项,得２x２＝０． 其中二次项系数为２,一次项系数为０,常数项为０． 数学　九年级　上册 ４０　 换了“马夹”也得认识! 将一元二次方程的项的系数 b或c取“０”,一元二次方程的 一般形式可以变化出一些特 殊形式,要认得它们: ①b＝０,c＝０→ax２＝０; ②b＝０,c≠０→ax２＋c＝０; ③b≠０,c＝０→ax２＋bx＝０． 特别注意大前提:a≠０! a≠ ０! a ≠０! 重 要 的 事 情 说 三遍! 巧抓关键词,隐藏条件无处跑 审题时要特别留心一些表示 数量关系的词语,如“多”“少” “长”“短”“增大”“减小”等,从 而保证在判断等量关系时不 遗漏任何隐藏的条件． 一元二次方程不可忽视的“小细节” (１)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常 数项时,首先要将方程化为一般形式． (２)指出一元二次方程的各项或各项系数时,要带上前面 的符号,尤其是当系数是负数时,一定不能漏掉“－”! (３)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或 常数项为０． 知识点三　根据实际问题列一元二次方程的步骤 　 解题步骤 　　　　　 典例示范 　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋审:认 真 审 题,明 确未 知 量 和 已 知 量． 【例３】２０２１年某市仅教育费附 加就投入７２００万元,用于发 展本市的教育,预计到２０２３ 年投入将达到９８００万元,若 每年增长率都为x,根据题意 列方程为 (　　) A．７２００(１＋x)＝９８００ B．７２００(１＋x)２＝９８００ C．７２００(１＋x)＋７２００(１＋ x)２＝９８００ D．７２００x２＝９８００ 　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋设:把未知量用未 知数设出(或用含 未知 数 的 式 子 表 示出来)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋解析 每年增长率都为x． 　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋找:找出实际问题 中的等量关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�