第1章 分式 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

第１章　分　式 ４７　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　八年级　上册 ４８　 专题一　 分式的值是否存在(有无意 义)及值为０的条件 　　在分式中,当分母不等于０时,分式 的值存在(有意义);当分母等于０时,分 式的值不存在(无意义);分式的值为０ 的条件是分子为０,且分母不为０． 　　　　 　　　　 　　　　 　【例１】(１)若分式 ２a＋３ a－１ 有意义,则a 的 取值范围是　　　　． (２)当x＝　　　　时,分式 x－１ ３x＋２ 的 值为０． 解析 (１)分式 ２a＋３ a－１ 有意义,则a－１≠０, 则a 的取值范围是a≠１． (２)要使分式 x－１ ３x＋２ 的值为０,则x－１＝ ０,解得x＝１,此时３x＋２≠０．故x＝１． 答案 (１)a≠１　(２)１  　　要想解决这类题目,明确分式有 无意义及分式的值为０的条件是关键． 专题二　整数指数幂的运算 　　在幂的综合运算中,首先要明确是 哪一种运算,然后运用相关的法则进行 计算,尤其要按照一定的顺序,同时确定 运算符号,最后合并同类项． 【例 ２】计 算:(１)(－m４ 􀅰m－２)２ ＋ (－２m)３􀅰m２＋m－４÷(m－２)４; (２)|－２|＋ ( １ ３) －１ ×(π－３)０＋(－１)２． 解 (１)(－m４􀅰m－２)２＋(－２m)３􀅰m２＋ m－４÷(m－２)４ ＝(－m２)２＋(－８m３)􀅰m２＋m－４÷m－８ ＝m４－８m５＋m４ ＝２m４－８m５． (２)|－２|＋ ( １ ３) －１ ×(π－３)０＋(－１)２ ＝２＋３×１＋１ ＝２＋３＋１ ＝６． " 在整数指数幂的运算中,要先算 乘方,再算乘除,最后算加减． 专题三　分式的化简求值 　　对于一个分式,如果给出其中字母 的值,可以先将分式进行化简,再将字母 的值代入,求出分式的值．但对于没有直 接给出其中字母的值,而只给出其中字 母所满足的条件的求值问题,可以采用 整体代入的方法求值． 【例３】先化简,再求值: x２＋２x＋１ y 􀅰 (１－ １ x＋１) － x２ y ,其中 x＝２,y＝３． 解 原 式 ＝ (x＋１)２ y 􀅰x＋１－１ x＋１ － x２ y ＝ x(x＋１) y － x２ y ＝ x y ． 当x＝２,y＝３时, 原式＝ ２ ３． 第１章　分　式 ４９　 【例４】已知有理数a 满足a２＋２a－１５＝ ０,求 １ a＋１－ a＋２ a２－１÷ (a＋１)(a＋２) a２－２a＋１ 的值． 解 １ a＋１－ a＋２ a２－１÷ (a＋１)(a＋２) a２－２a＋１ ＝ １ a＋１ － a＋２ (a＋１)(a－１) ÷ (a＋１)(a＋２) (a－１)２ ＝ １ a＋１ － a＋２ (a＋１)(a－１) 􀅰 (a－１)２ (a＋１)(a＋２) ＝ １ a＋１－ a－１ (a＋１)２ ＝ ２ (a＋１)２． 因为a２＋２a－１５＝０, 所以a２＋２a＋１＝１６． 所以(a＋１)２＝１６． 所以原式＝ ２ １６＝ １ ８．  　　在分式的化简求值中,要注意分 解因式、约分以及符号的处理,一般要 先化简,再求值． 专题四　分式的运算 　　在分式的加减运算中,若分子、分母 是多项式,应先把能分解因式的分子、分 母先分解因式,再约分,这样可极大地简 化运算．其次,分式运算的方法选取也很 重要,常用的方法有先约分再计算、整体 通分法、巧用运算律等． 【例５】计算:(１) x２＋４x x２＋２x＋ x２－４ x２＋４x＋４ ; (２)x＋２－ x２＋４x x＋２ ; (３)( １ x２－２x－ １ x２－４x＋４) ÷ ２ x２－２x． 解 (１)原式＝ x(x＋４) x(x＋２)＋ (x＋２)(x－２) (x＋２)２ ＝ x＋４ x＋２＋ x－２ x＋２＝ ２x＋２ x＋２． (２)原式＝ (x＋２)２ x＋２ － x２＋４x x＋２ ＝ x２＋４x＋４－x２－４x x＋２ ＝ ４ x＋２． (３)原 式 ＝ １x(x－２)－ １ (x－２)２ é ë ê ê ù û ú ú 􀅰 x(x－２) ２ ＝ １ x(x－２) 􀅰x (x－２) ２ － １ (x－２)２ 􀅰 x(x－２) ２ ＝ １ ２－ x ２(x－２)＝ x－２－x ２(x－２)＝－ １ x－２．  　　分式运算的关键在于掌握分式的 运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后 算加减,有括号先算括号里面的．除此 之外,要注意除法没有分配律． 专题五　分式方程的解法 　　解分式方程的基本思路是将分式方 程化为整式方程,具体做法是“去分母”, 即方程两边同乘最简公分母．注意在方程 变形中,有时可能产生使原方程无意义 的解．因此,解整式方程得到的解要代入 数学　八年级　上册