第1章 方法专题 分式方程的特殊解法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

第１章　分　式 ４５　 方法专题 分式方程的常规解法是方程两边乘 最简公分母,转化为整式方程求解．但是 对于某些分式方程,用常规解法很麻烦 或无法求解,此时必须认真观察和仔细 分析方程的特点,运用数学方法加以探 索创新,找到最简方法,灵活求解． 常用的特殊解法有:换元法、巧添常 数法、拆项法、裂项法． １．换元法 当方程中的分式互为倒数,或不同分式 中的分母互为相反式,或方程中分子、 分母的二次项与一次项分别相同时,可 考虑用换元法． 【例１】解方程: ３x２＋８x＋３ x２＋４x＋１１＝ ３x２＋８x＋９ x２＋４x＋１３． 思路分析 知条件　所给方程中的分子、分母的 二次项和一次项分别相同． 明方法　用换元法解分式方程． 解 设３x２＋８x＋３＝y,x２＋４x＋１１＝z, 则原方程变形为 y z＝ y＋６ z＋２ , 即yz＋２y＝yz＋６z,所以y＝３z． 所以３x２＋８x＋３＝３(x２＋４x＋１１), 解得x＝－ １５ ２． 经检验,x＝－ １５ ２ 是原分式方程的解． 所以原分式方程的解是x＝－ １５ ２． ２．巧添常数法 当方程中的每个分式的分子和分母都 是相同两数的差或和时,可在每个分式 中添加常数“１”,使解法简单明了． 【例２】解方程: x－１ x＋１＋ x－４ x＋４＝ x－２ x＋２＋ x－３ x＋３． 思路分析 知条件　所给方程中的每个分式的分 子和分母都是相同两数的差 或和． 明方法　在每个分式中添加常数“１” 求解． 解 原分式方程可变形为 ( x－１ x＋１＋１) ＋ ( x－４ x＋４＋１) ＝ ( x－２ x＋２＋１) ＋ ( x－３ x＋３＋１) , 所以 ２x x＋１＋ ２x x＋４＝ ２x x＋２＋ ２x x＋３． 当２x＝０时,x＝０． 当２x≠０时, １ x＋１＋ １ x＋４＝ １ x＋２＋ １ x＋３ , 方 程 两 边 分 别 通 分 并 整 理,得 ２x＋５ x２＋５x＋４＝ ２x＋５ x２＋５x＋６ , 数学　八年级　上册 ４６　 易知当２x＋５＝０时,该分式方程有解, 解得x＝－ ５ ２． 经检验,x＝０,x＝－ ５ ２ 都是原分式方 程的解． 所以原分式方程的解是x＝０或x＝ － ５ ２． ３．拆项法 当每个分式的分母与分子相差同一个 常数时,可把每个分式拆成常数与分式 的和或差． 【例３】解方程: x－９ x－１１＋ x－５ x－７＝ x－８ x－１０＋ x－６ x－８． 思路分析 知条件　所给方程中的每个分式的分 子与分母都相差２． 明方法　利用拆项法解分式方程． 解 原 分 式 方 程 可 化 为 x－１１＋２ x－１１ ＋ x－７＋２ x－７ ＝ x－１０＋２ x－１０ ＋ x－８＋２ x－８ , 即１＋ ２ x－１１＋１＋ ２ x－７＝１＋ ２ x－１０＋ １＋ ２ x－８ , 整理,得 １ x－１１－ １ x－８＝ １ x－１０－ １ x－７ , 通 分 并 整 理,得 ３(x－１１)(x－８)＝ ３ (x－１０)(x－７) , 所以(x－１１)(x－８)＝(x－１０)(x－７), 解得x＝９． 经检验,x＝９是原分式方程的解． 所以原分式方程的解是x＝９． ４．裂项法 当方程中的分式具有 １ (m＋１)(m＋２)＝ １ m＋１－ １ m＋２ 这样的形式时,可利用裂 项法化积为差． 【例４】解方程: １ x＋１０＋ １ (x＋１)(x＋２)＋ １ (x＋２)(x＋３)＋ 􀆺＋ １ (x＋９)(x＋１０)＝１０． 思路分析 知条件　所给方程从第二项起分式的 分母中的两个因式相差１． 明方法　利用裂项法解分式方程． 解 原分式方程可变形为 １ x＋１０＋ １ x＋１－ １ x＋２＋ １ x＋２－ １ x＋３＋ 􀆺 ＋ １ x＋９－ １ x＋１０＝１０ , 即 １ x＋１＝１０ ,解得x＝－ ９ １０． 经检验,x＝－ ９ １０ 是原分式方程的解． 所以原分式方程的解是x＝－ ９ １０．