2.4 线段的垂直平分线-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

第２章　三角形 ８７　 M  > M M  > M ２．４　线段的垂直平分线 知识点一　线段的垂直平分线的定义及性质定理 定义 垂直且平分一条线段的直线 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 两个基本特征 (１)垂直线段;(２)平分线段 两种关系 如下图,直线l是线段AB 的垂直平分线． (１)位置关系:PC⊥AB,C 为AB 的中点; (２)数量关系: AC＝BC, ∠PCA＝∠PCB＝９０°, PA＝PB ì î í ï ï ïï 图２．４Ｇ１ 【例１】如图２．４Ｇ１,CP 是线段AB 的 垂直平分线,若AC＝５cm,AP＝ ４cm, 则 △ABC 的 周 长 是 　　　　cm． 解析 因为CP 是线段AB 的垂直平分线, 所以P 是AB 的中点,且点C 到点A,点B 的距离 相等, 所以BP＝AP＝４cm,BC＝AC＝５cm, 所以△ABC 的周长是AC＋BC＋AP＋BP＝１８cm． 答案１８ 知识点二　线段垂直平分线的性质定理的逆定理 线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端距 离相等的点在线段的垂直平分线上． 线段是轴对称图形, 它有２ 条 对 称 轴:(１)线 段所 在 的 直 线 是 它 的 对 称轴;(２)线 段 的 垂 直 平 分线是它的对称轴． C.U E 6 EU , 3U 3% 数学　八年级　上册 ８８　   > M 当某 一 点 到 某 条 线 段两端距离相等时,不能 说明 过 该 点 的 直 线 是 这 条线段的垂直平分线,只 有当 不 重 合 的 两 点 到 某 条线 段 两 端 距 离 分 别 相 等时,才能说明过这两点 的直 线 是 这 条 线 段 的 垂 直平分线． 在作线段的垂直 平 分 线 的过程中,弧的半径一定要大 于已知线段长的一半． 【例２】如图２．４Ｇ２所示,在△ABC 中,D 为BC 上的一 点,连接AD,点E 在AD 上,且∠１＝∠２,∠３＝∠４． 图２．４Ｇ２ 求证:AD 垂直平分BC． 证明 因为∠１＝∠２, 所以EB＝EC, 所以点E 在线段BC 的垂直平分 线上． 又因为∠１＝∠２,∠３＝∠４, 所以∠ABC＝∠ACB, 所以点A 也在线段BC 的垂直平分线上． 又因为点E,A 在AD 上, 所以AD 在线段BC 的垂直平分线上,所以AD 垂直 平分BC． 证明某一条直线是另一条线段的 垂直平分线的基本方法 (１)根据线段垂直平分线的定义证明． (２)根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理证明． 知识点三　线段垂直平分线的画法 【例３】如图２．４Ｇ３,作出线段AB 的中点O(要求:尺规 作图,保留作图痕迹,写出作法,不用证明)． 图２．４Ｇ３ 第２章　三角形 ８９　 解 如图２．４Ｇ４所示． 图２．４Ｇ４ 作法:(１)分别以点A,B 为圆心,以大于 １ ２AB 的长 为半径画弧,两弧相交于点E,F; (２)过点E,F 作直线EF,交AB 于点O． 点O 即为线段AB 的中点． 知识点四　过一点作已知直线的垂线 １．当点P 在直线l上 ２．当点P 在直线l外 对作线段垂直平分线的理解 (１)任何一条线段都 可作 出 唯 一 一 条 垂 直 平 分线; (２)用尺规作线段的 中点 的 实 质 就 是 作 线 段 的垂直平分线; (３)判断过两弧的交 点的 直 线 是 已 知 线 段 的 垂直 平 分 线 的 依 据 是 线 段的 垂 直 平 分 线 性 质 定 理的逆定理．   > M (１)规定“以大于已知线 段 的 一 半 ( １ ２AB ) 的 长 为 半 径”是两弧有交点的前提; (２)两弧的交点到线段的 两个端点的距离相等． 数学　八年级　上册 ９０　 7>U 1-0U 【例４】如图２．４Ｇ５所示,点D 为△ABC 的边AB 上的 一点,过点D 作AC 边的垂线(要求:尺规作图,保留 作图痕迹,写出作法,不用证明)． 图２．４Ｇ５ 　　　　 图２．４Ｇ６ 解 如图２．４Ｇ６所示． 作法:(１)以点D 为圆心,以大于点D 到AC 的距离 的线段长为半径画弧,交直线AC 于点M,N; (２)分别以点 M,N 为圆心,以大于 １ ２MN 的长为半 径画弧,两弧交于点E; (３)过点 D,E 作直线DE,则直线 DE 为所求作的 直线． 常考题型解读 １．如图 ２．４Ｇ８,在 △ABC 中, ∠C＝９０°,∠CAB 的 平 分 线AD 交 BC 于 点 D,若 DE 垂 直 平 分 AB,则 ∠B 的度数为　　　　． 图２．４Ｇ８ 题型一　线段垂直平分线的性质定理的应用 图２．４Ｇ７ 利用线段垂直平分线的性质定理求角度 【例１】如图２．４Ｇ７所示,线段AC 的垂直 平分线交线段AB 于点D,∠A＝５０°