2.2 命题与证明-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（湘教版)

数学　八年级　上册 ６６　 M  > M M  > M ２．２　命题与证明 认识定义 定义 是 对 一 个 概 念 的含 义 加 以 描 述 说 明 或 作出明确规定的语句． (１)有些命题的条件和结 论不一定只有一个,此时要注 意区分它们的条件和结论． (２)有时命题可以省略关 联词“如果”“那么”． (３)有些命题的条件和结 论不够明显,这时,可先把命题 改写成“如 果􀆺􀆺,那么􀆺􀆺” 的形式,再找条件和结论． 知识点一　定义 定义的常见句型是陈述句．定义的一般形式有“􀆺􀆺 叫作􀆺􀆺”“􀆺􀆺称为􀆺􀆺”“􀆺􀆺是指􀆺􀆺”“􀆺􀆺 是􀆺􀆺”等． 【例１】下列语句中,属于定义的是 (　　) A．直线AB 和CD 垂直吗 B．过线段AB 的中点C 作AB 的垂线 C．同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线 D．对顶角相等 解析 A项是个疑问句,不是定义;B,D不符合定义的 特征,不是定义;C项对平行线的含义进行了描述说 明,是平行线的定义． 答案 C 　　(１)定义可以作为性质使用,也可以作为判定的 方法． (２)定义中不能有“大概”“差不多”“左右”等不确 定的字词． 知识点二　命题及其结构   > M １．命题 第２章　三角形 ６７　 ２．命题的结构 结构 由条件和结论两部分组成．条件是已知事项,结 论是由已知事项推断出的事项 叙述形式 命题的一般叙述形式为“如果􀆺􀆺,那么􀆺􀆺”． 其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的 部分是结论．也可写成“若􀆺􀆺,则􀆺􀆺”的形式 【例２】下列语句是命题的是 (　　) A．作△ABC 的边BC 上的高 B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和 C．内错角相等吗 D．我要好好学习 解析 命题是一个完整的句子,属于陈述句,且是对一 件事情作出判 断 的 语 句．所 以 选 项 A,C,D 均 不 是 命题． 答案 B 【例３】指出下列命题的条件和结论: (１)如果两个角相等,那么它们是对顶角; (２)若a＜b,b＜c,则a＜c; (３)绝对值等于５的数是５． 解 (１)条件:两个角相等;结论:它们是对顶角． (２)条件:a＜b,b＜c;结论a＜c． (３)条件:一个数的绝对值等于５;结论:这个数是５． 知识点三　原命题和逆命题 【例４】写出下列命题的逆命题: (１)如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条 直线平行; (２)两直线平行,同位角相等; 　　(４)命题的改写不能简单 地加上“如果”“那么”,应适当 地补充一些修饰成分使语句 通 顺 完 整,但 要 保 证 内 容 不变． 判断 一 个 语 句 是 否 为一个命题,一是看它是 不是一个完整的语句(陈 述句);二 是 看 它 是 否 对 某件 事 情 作 出 了 肯 定 或 否定的判断． (１)原命题与逆命题是指 两个命题之间的相互关系,单 独一 个 命 题 不 能 称 之 为 原 命题; (２)原命题和逆命题是相 对的,可以把条件和结论互换 之后的两个命题中的任何一 个作为原命题,另一个则是它 的逆命题; 数学　八年级　上册 ６８　 　　(３)若原命题的条件和结 论不明确,可以先将其改写为 “如 果􀆺􀆺,那 么 􀆺􀆺”的 形 式,再写出它的逆命题． 原命题是真命题时, 它的 逆 命 题 不 一 定 是 真 命题;反 之,逆 命 题 是 真 命题时,它的原命题不一 定是真命题． 说明一个命题是假命题, 举一个反例即可． (３)对顶角相等． 解 (１)如果两条直线平行,那么这两条直线都和第三 条直线垂直． (２)同位角相等,两直线平行． (３)相等的两个角是对顶角． 4 寻找逆命题 每个命题都有逆命题．找一个命题的逆命题就是 将此命题的条件与结论互换． 知识点四　真命题和假命题 【例５】下列哪些命题是真命题? 哪些是假命题? 是假命题 的请说明理由． (１)三角形的任意两边之和大于第三边; (２)平行于同一条直线的两直线平行; (３)如果ab＝０,那么a＝０; (４)锐角都小于钝角; (５)如果|a|＝|b|,那么a＝b; (６)如果两个角的两边分别平行,那么这两个角一定 相等． 解 (１)(２)(４)是真命题,(３)(５)(６)是假命题． 命题(３),如果ab＝０,那么有可能b＝０,a≠０,也可 能a＝０,b≠０或a＝b＝０． 命题(５),当|a|＝|b|时,有可能a＝b,也可能a＝ －b． 命题(６),当两个角的两边分别平行时,这两个角可能 相等,也可能互补． 【例６】举反例说明下列命题是假命题: (１)有理数一定是自然数; 第２章　三角形 ６９　 (２)三角形的一个外角大于它的内角． 解 (１)０．５,－ １ ３ 等都是有理数,但它们不是自然