第24章小专题13 切线的判定与性质的综合应用-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

志 学有鸿鹄志展翅任翱翔 《名师测控》 人教版-九年级上册数学 g击 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 Hubei honghuzhi Culture and Media.,LTD 志 小专题十三切线的判定与性质的综合应用 学有鸿鹄志展翅任翱翔 志 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 直径，∠DCA=∠B. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点 F,求证：△DCF是等腰三角形. B OE A 学有鸿鹄志展翅任翻翔 鸡志 (2).'∠OCA十∠DCA=90°，∠OCA=∠A, ∴.∠A+∠DCA=90°. .DE⊥AB,.∠A+∠EFA=90°， ∴.∠DCA=∠EFA. .'∠EFA=∠DFC,∴.∠DCA=∠DFC, .DC=DF,∴.△DCF是等腰三角形 B OE A 学有鸿鹊志展翅任翱翔 志 2.如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画 圆，交AC于点D,DF⊥AB于点F,连接 OF,且AF=1. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)求线段OF的长度. B C 学有鸿鹄志展翅任朝用 志 (2).OD∥AB,OC=OB, .OD是△ABC的中位线，.CD=DA. .∠AFD=90°，∠A=60°，∴.∠ADF=30. ∴AF=1,∴.CD=OD=AD=2AF=2. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2=AD一 AF2=22-12=3. 在Rt△ODF中，由勾股定理，得OF=√OD十DF2 √22+3=√7.∴.线段OF的长为7. B C 学有鸿鹊志展翅任朝翔 鹊志 3.(2022·辽宁盘锦)如图，四边形ABCD是正 方形，点A,点B在⊙O上，边DA的延长线 交⊙O于点E,对角线DB的延长线交⊙O 于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG= ∠FAB. (1)求证：BG与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为1，求AF的长. E 学有鸿鹊志展翅任朝翔 鸡志 解：(1)连接BE. E .四边形ABCD是正方形， .∠BAE=90°， .BE是⊙O的直径，∠BAF十 ∠EAF=90. .∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB, ,∴.∠FBG+∠EBF=∠OBG=90°， 即OB⊥BG,∴.BG与⊙O相切： 学有鸿鹊志展翅任翱翔 鸡志 (2)连接OA,OF, ',四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径， ..∠EFD=90°，∠FDE=45°， ∴.∠FED=45°，∴.∠AOF=90°. 在Rt△AOF中，OA=OF=1, ∴.AF=AO+FOY=1+1=2,∴.AF=√2. E 学有鸿鹊志展翅任翱翔 志 4.如图，AB是⊙O的直径，AC,BD是⊙O的 切线，切点分别为A,B,EF分别交AC,BD 于点E,F,且EO平分∠AEF. (1)EF与⊙O相切吗？为什么？ (2)若AE=4,BF=9,求⊙O的半径. AE C B F 学有鸿鹊志展翅任翱翔