第19讲 二次函数的应用-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第19讲 二次函数的应用 二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面： （1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化； （2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求 解等； （3） 二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状， 所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见； （4） 二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出 的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状， 则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题． 模块一：二次函数与利润最大化 1、知识点名称 求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值． 这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围． 【例1】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国 家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售 价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1） 假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函 数关系式； （2） 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应 降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 模块二：二次函数与面积问题 1、知识点名称 求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围． 而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多． 【例2】在半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x厘米的同心圆面，剩下一个圆环 的面积为y平方厘米，则y关于x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【例3】如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆 围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．A B C D 【例4】如图，E、F分别是边长为的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE = 1，CF = ，直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD， 垂足分别为M、N，设HM = x，矩形AMHN的面积为y．A B C D E F N M G H （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积为多少？ 模块三：二次函数与拱桥问题 1、知识点名称 二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题． 【例5】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面 宽AB为12米，如图建立直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） A B C O x y 【例6】一条隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OC为8米，宽OA为2米，隧道 最高点P位于AB的中央且距地面6米，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4米，宽2米，能否从该隧道内通过？请说明理由； （3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？请说明理由． 模块四：二次函数与运行轨迹 1、知识点名称 与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题． 【例7】如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位： 米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： （1）出手点A离地面的高度；O A B C x y （2）最高点C离地面的高度； （3）该运动员的成绩是多少米？ 【例8】在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足（其中g是常数，取g = 10 米/秒2）．若v0 = 10 米/秒，则该物体在运动过程中，最高点距离地面______米． 一、单选题 1. （2023·上海闵行·统考一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90