7.4 圆锥的侧面展开图-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

７．４　圆锥的侧面展开图 'F 圆锥的三大基本特征 (１)圆锥的高通过底面的 圆心,并且垂直于底面; (２)圆锥的所有母线长均 相等; (３)经过圆锥的高的平面 截圆锥所得的图形是一个 等腰三角形． 知识点一　圆锥的形成过程及有关概念 面动成体 → 　　 Rt△AOB 以它的一条直角 边OA 为轴旋转一周 　　　　　　 圆锥 　 【例１】如图７．４Ｇ１所示,若一个圆锥的母线 AB 长为 ５cm,底面直径长为８cm,求这个圆锥的高AO 的长． 图７．４Ｇ１ 解:因为∠AOB＝９０°,AB＝５cm,OB＝４cm, 所以AO＝ AB２－OB２ ＝ ５２－４２ ＝３(cm),即这个圆 锥的高AO 的长为３cm． 4 明确关系好计算 　　圆锥是由直角三角形绕一直角边所在直线旋转 而成的,圆锥顶点到圆锥底面圆上任意一点的距离都 等于直角三角形的斜边长．圆锥的底面半径、母线和高 是一个直角三角形的三边,已知其中的两个量,根据 勾股定理可以求出第三个量． ４９１ 知识点二　圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图 图７．４Ｇ２ 如图７．４Ｇ２所示,圆锥的侧面展开 图是以圆锥的顶点为圆心、以母 线为半径的扇形,扇形的弧长等 于圆锥底面的圆周长． 圆锥的侧面积与表面积 S侧 ＝ １ ２cl＝πrl ,S表 ＝S侧 ＋S底 ＝ πrl＋πr２＝πr(l＋r),其中c是圆 锥的底面圆的周长,r是底面圆的半径,l是圆锥的母 线长． 图７．４Ｇ３ 【例２】如图７．４Ｇ３,已知圆锥的底面圆 的直 径 为 ６,高 为 ４,求 圆 锥 的 表 面积． 解:因为OS＝４,OC＝３, 所以SC＝ ４２＋３２ ＝５, 即SA＝５． 所以 ☉O 的周长为２π×３＝６π, 则AB ︵ 的长为６π． 所以S扇形SAB＝ １ ２×６π×５＝１５π． 又因为S底 ＝π×３２＝９π, 所以S表 ＝１５π＋９π＝２４π． 4 圆锥计算要抓住一根“纽带”,用好一个公式 　　圆锥的底面圆周长等于侧面展开图中扇形的弧 长,这是圆锥侧面积计算的一根“纽带”,需牢记;圆锥 侧面展开图中,扇形面积的计算通常所用的公式是 S＝ １ ２lR (其中l为扇形的弧长,R 为扇形的半径)． 'F (１)圆 锥 的 侧 面 是 一 个 曲 面,而侧面展开图是一个平 面(扇形)． (２)圆锥的母线长为圆锥侧 面展开图(即扇形)的半径, 要注意与圆锥底面半径相 区分． (３)若 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r,高 为 h,则 V圆锥 ＝ １ ３πr ２h． ５９１ １．用一个圆心角为 １２０°, 半径为６cm 的扇形做 成一个圆锥的侧面,这 个圆锥的底面的半径为 (　　) A．１cm　　　　B．２cm C．３cm D．４cm ２．一个圆锥的侧面积是底 面积的 ２ 倍,则圆锥侧 面展开图扇形的圆心角 的度数是　　　　． ３．(广东中考)如图７．４Ｇ５, 把一个圆锥沿母线OA 剪开,展开后得到扇形 AOC,已知圆锥的高h 为１２cm,OA＝１３cm, 则扇形AOC 中AC︵的长 是　　　　cm(计算结 果保留π)． 图７．４Ｇ５ 题型一　圆锥的有关计算 【例１】已知扇形的圆心角为１２０°,面积为３００πcm２,若把 此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的体积是多少? 审题关键:求圆锥的体积必须求出圆锥的底面半径及 圆锥顶点到底面圆心的距离(即圆锥的高)． 破题思路:圆锥的侧面展开图是扇形,先根据扇形面积 公式可确定扇形的半径(即圆锥的母线长),再根据扇 形弧长与底面圆周长的关系可确定底面半径,进而可 求出圆锥的高,最后根据圆锥的体积公式计算即可． 图７．４Ｇ４ 解:根据题意,画出如图７．４Ｇ４所示的圆 锥,设圆锥的底面半径OB 为r,侧面展 开图扇形的半径AB 为R． 因为１２０πR ２ ３６０ ＝３００π ,❶ 所以R＝３０cm． 所以扇形的弧长l＝ １２０π×３０ １８０ ＝２０π (cm)．❷ 又因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长, 所以２０π＝２πr, 所以r＝１０cm． 在Rt△AOB 中,AB＝R＝３０cm,OB＝r＝１０cm, 所以AO＝ AB２－OB２ ＝ ３０２－１０２ ＝２０２(cm), 所以圆锥的体积V＝ １ ３πr ２􀅰AO＝ １ ３×π×１０ ２× ２０２＝ ２０００２π ３ (cm３)． 所以这个圆锥的体积是２０００２π ３ cm ３． 过程释疑: ❶若扇形的圆心角为n°,半径为r,则扇形的面积S＝ nπr２ ３６０． ６９１ ❷若扇形的圆心角为n°,半径为r,则扇形的弧长 l＝ nπr １８０． ?  　　圆柱的体积＝圆柱的底面积×高;圆锥的体 积＝ １ ３× 圆锥的底面积×高．圆锥的侧面展开图的 扇形弧长与圆锥底面圆的周长相等． 题型二　圆锥表面上的最短路径问题 图７