7.3 圆柱的侧面展开图-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

７．３　圆柱的侧面展开图 知识点　圆柱的侧面展开图 形成 图７．３Ｇ１ 圆柱可以看成是由一个矩形旋转得到 的,如图７．３Ｇ１所示,把矩形OAA′O′以 它的一条边OO′为轴旋转一周,所得到 的立体图形是一个圆柱 相关 概念 如图７．３Ｇ１,线段AA′叫做圆柱的母线,线段OO′叫 做圆柱的高 侧面 展开 图 如图７．３Ｇ２,圆柱的侧面展开图是一个矩形,它的一 边是圆柱的母线,另一边的长等于底面圆的周长 图７．３Ｇ２ 侧面积与 表面积 若圆 柱 的 底 面 半 径 为r,母 线 长 为l,则 S侧 ＝ S矩形 ＝２πr􀅰l＝２πrl． S表 ＝S侧 ＋２S底 ＝２πrl＋２πr２＝２πr(l＋r) 【例】如图７．３Ｇ３,圆柱的高为１０cm,经过圆柱的轴将它 截开,截面是矩形ABCD,其面积为２４０cm２,则圆柱 的侧面积是 (　　) 图７．３Ｇ３ A．２４０cm２　B．２４０πcm２　C．４８０cm２　D．４８０πcm２ 解析:因为圆柱的高AB 为１０cm,截面矩形ABCD 的 面积为２４０cm２, 所以圆柱的底面直径BC＝２４０÷１０＝２４(cm), 所以侧面积＝２４π×１０＝２４０π(cm２)． 答案:B 'F (１)圆柱的母线有无数条． (２)圆柱的母线长都等于圆 柱的高． (３)圆柱的两个底面是两个 等圆,且互相平行．  有关圆柱的计算中,常涉及 三个矩形: (１)轴剖面矩形(如图７．３Ｇ３ 中矩形 ABCD),它的一边 是圆柱的底面直径,另一边 是圆柱的母线; (２)旋 转 矩 形 (如 图 ７．３Ｇ１ 中矩 形 OAA′O′),它 的 一 边是圆柱的底面半径,另一 边是圆柱的母线; (３)侧面展开图矩形(如图 ７．３Ｇ２中矩形ABCD),它的 一边是圆柱的底面周长,另 一边是圆柱的母线． ９８１ １．如图７．３Ｇ６所示,用高为 ６cm,底 面 直 径 为 ４cm 的圆柱 A 的侧面展开图 围成不同于 A 的另一个 圆柱B,则圆柱 B的体积 为　 (　　) 图７．３Ｇ６ A．２４πcm３ B．３６πcm３ C．３６cm３ D．４０cm３ ２．明明家打算在一块长为 １６m,宽为４m 的矩形土 地上搭建一个截面为半 圆形的全封闭蔬菜棚,并 全部盖上塑料薄膜(如图 ７．３Ｇ７所示),则所需薄膜 的面积至少为多少平方 米(结果可含π,不考虑埋 入土中部分的面积)? 图７．３Ｇ７ 题型一　圆柱的有关计算 【例１】如图７．３Ｇ４①,O 为圆柱形木块底面的圆心,过底 面的一条弦 AD,沿母线剖开,得剖面矩形 ABCD, AD＝２４cm,AB＝２５cm,AMD的长为底面周长的 ２ ３ , 如图７．３Ｇ４②所示． (１)求☉O 的半径; (２)求这个圆柱形木块的表面积(结果可保留π和根号)． ①　　　 　 　　　　 　　② 图７．３Ｇ４ 审题关键:要求圆柱的表面积,需先根据已知条件确定 圆柱的底面半径和高,通过作垂线,运用垂径定理及 解直角三角形求得半径是关键． 破题思路:(１)先根据AMD的长为底面周长的 ２ ３ ,可将 扇形的圆心角求出,再根据弦AD 的长,可将☉O 的 半径求出; (２)圆柱形木块的表面积S＝２S底 ＋S侧,将上、下两 个圆的面积和及侧面的面积求出,相加即可． 图７．３Ｇ５ 解:(１)如图７．３Ｇ５,连接OA,OD,过O 作OE⊥AD,垂足为E．因为AMD的 长 为 底 面 周 长 的 ２ ３ ,所 以 扇 形 OAMD 的圆心角为３６０°× ２ ３＝２４０°． ∠AOD＝３６０°－２４０°＝１２０°．因为OE⊥AD,所以 ０９１ ∠AOE＝ １ ２×１２０°＝６０° ,AE＝ １ ２AD． 因为 AD＝ ２４cm,所 以 AE ＝１２ cm．在 Rt△AOE 中, sin∠AOE＝ AE AO ,所以 AO＝ AE sin６０°＝１２÷ ３ ２ ＝ ８３(cm),即☉O 的半径为８３cm． (２)设圆柱的表面积为S,则S＝２S底 ＋S侧 ,２S底 ＝ ２π×(８ ３)２＝３８４π(cm２),S侧 ＝２π×８ ３×２５＝ ４００３π(cm２),所以S＝(３８４＋４００３)πcm２． 答:这个圆柱形木块的表面积为(３８４＋４００３)πcm２． 题型二　圆柱侧面上的最短路径问题 图７．３Ｇ８ 【例２】“枯木一根直立地上,高二丈,周三 尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其 顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图７．３Ｇ８ 所示,把枯木看成一个圆柱,因一丈是十 尺,则该圆柱的高为２０尺,底面周长为 ３尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周 后其末端恰好到达点B 处,则问题中葛藤的最短长度 是 尺． 审题关键:将葛藤爬过的表面展开,确定A,B 两点在 平面上的位置是关键． 解析:因为葛藤绕枯木五周而达其顶,这样需将枯木 滚