7.2 直棱柱的侧面展开图-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

７．２　直棱柱的侧面展开图 知识点一　直棱柱的相关概念与性质 棱柱的 分类 直棱柱 　　　　 斜棱柱 相关 概念 性质 (１)直棱柱的上、下底面是全等的多边形,各个侧 面都是矩形; (２)直棱柱的侧棱数、侧面数都等于底面的边数, 相邻的两条侧棱平行且相等 图７．２Ｇ１ 【例１】如图７．２Ｇ１所示的直六棱柱的侧棱长为 ６cm,底面边长都为２cm． (１)一共有多少条棱? 长度分别为多少? (２)一共有多少个面? 它们分别是什么形状? 哪些面的形状一定相同? 解:(１)一共有１８条棱．其中有６条侧棱,其长度都为 ６cm;其余的棱长都等于底面边长,其长度都为２cm． (２)一共有８个面．其中２个底面均为六边形,这２个 底面的形状完全相同;６个侧面均为矩形,这６个侧面 的形状完全相同． 'F (１)直棱柱分为直三棱柱、 直四棱柱、直五棱柱􀆺􀆺 (２)n 棱柱由２个底面,n 个 侧面,共(n＋２)个面构成, 顶点 的 个 数 为 ２n,棱 的 条 数为３n． １８１ 'F (１)直棱柱的侧面展开图 是一个矩形,这个矩形可 以看成是几个矩形连在一 起组成的． (２)直棱柱的表面展开图 是由两个全等的多边形和 一些 矩 形 连 成 的．直 棱 柱 的侧面展开图只有一种形 式,而沿直棱柱表面不同 的棱剪开,有时可得到不 同 组 合 方 式 的 表 面 展 开 图,即同一直棱柱的表面 展开图可能有多种． 知识点二　直棱柱的侧面展开图 概念 一般地,将一个直棱柱沿它的一条侧棱展开,将各个侧 面铺在同一个平面内,所得到的图形叫做这个直棱柱 的侧面展开图 特点 直棱柱的侧面展开图是矩形,矩形的宽等于直棱柱的 侧棱长,矩形的长等于直棱柱底面的周长 侧面积 如果用c表示直棱柱的侧棱长,l表示直棱柱底面的周 长,S侧 表示直棱柱的侧面积,则S侧 ＝lc 　　图７．２Ｇ２ 【例２】如图７．２Ｇ２所示的直三棱柱 的上、下底面是直角三角形,根据 图中所标的数据: (１)画出沿侧棱 AD 剪开后所得 的侧面展开图,图中要标出有关 数据; (２)求这个直三棱柱的表面积． 解:由勾股定理可知,DF＝ ３２＋４２ ＝５(cm)． (１)其侧面展开图如图７．２Ｇ３所示． 图７．２Ｇ３ (２)这个直三棱柱的表面积为(５＋３＋４)×２＋ １ ２×３× ４×２＝２４＋１２＝３６(cm２)． 知识点三　利用直棱柱的侧面展开图 求最短距离 直棱柱是立体图形,因为它的每个面都是平面,所以计 算不同面上两点之间的表面最短距离时,可以先通过 展开图将点转化到同一个平面内,再利用勾股定理解 决问题． 【例３】如图７．２Ｇ４所示,一只蚂蚁从长、宽都是３０cm,高 是８０cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱侧面爬到B 点, ２８１ 求它爬行的最短路程． 图７．２Ｇ４ 　　　　　 图７．２Ｇ５ 解:蚂蚁实际上是在长方体的２个侧面内爬行,将这 ２个侧面展开得到如图７．２Ｇ５所示的矩形ACBD,连 接AB． 根据“两点之间,线段最短”,所求的最短路程就是 ２个侧面展开所得矩形的对角线AB 的长． 在Rt△ACB 中,AC＝３０×２＝６０(cm),BC＝８０cm, 所以AB＝ AC２＋BC２ ＝ ６０２＋８０２ ＝１００(cm)． 答:它爬行的最短路程为１００cm． 4 　　解答长方体表面两点间的最短路线问题,一定要 先把长方体的表面展开,再根据“两点之间,线段最 短”找出最短路线,进而求解． 'F 解决立体图形上两点最短 距离问题的关键是画出侧 面 展 开 图,构 造 直 角 三 角形． 题型一　直棱柱在生活中的应用 【例１】一个食品包装盒的表面展开图如图７．２Ｇ６所示． (１)请写出这个多面体包装盒的形状名称; (２)请根据图中所标的尺寸,计算这个多面体的侧面 积和表面积． 图７．２Ｇ６ 审题关键:由侧面及底面的形状判断出多面体是直六 １．某种品牌牛 奶 包 装 盒 的 表面展开图如图７．２Ｇ８所 示 (单 位:mm),那 么 这 种牛奶包装盒 的 体 积 是 　　　　　mm３(包装材 料厚度不计)． 图７．２Ｇ８ ３８１ ２．图７．２Ｇ９是一张铁皮． 图７．２Ｇ９ (１)计算该铁皮的面积． (２)能否将它做成一个长 方体盒子? 若能,画出它 的几何图形,并计算它的 体积;若不能,说明理由． 棱柱,且底面是正六边形． 破题思路:(１)由题图可知,侧面都是完全相同的矩形, 且有６个侧面,底面是正六边形,据此可判断多面体 的形状;(２)侧面积为６个小矩形的面积之和,表面 积是在侧面积的基础上加上两个底面(正六边形)的 面积． 解:(１)因为几何体的两个底面是全等的正六边形,侧 面是６个小矩形,所以这个多面体是直六棱柱． (２)S侧 ＝a􀅰４b＋a􀅰２b＝６ab． 图７．２Ｇ７ 如图