7.2 第1课时 直棱柱的侧面展开图-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

不大于3的数有三个：1,2,3，所以P(小莹赢)=号，P(小 第2课时用画树状图或列表求概率（二） 1 充)号，是>号，所以这个游戏不公平。 1.B2.C3.B4D5.3 8c9号10.号1.号2 6.①)4090°C:10人（图略）(21625人3号 13.解：(1)完成时间少于8秒的有1+3=4（人），总人数是30人， 7D8日 所以A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数 9.解：不公平.列表如下： 的比例是品-品 (2)30名中有4名进入下一轮，则可 4 5 6 估计60名进入下一轮的人数为600×号=80（名）. 4 8 9 10 5 910 11 1+3+a+b+10=30 (3)由题意得 1×6+3×7+8a+9b+10×10=30×8.8 6101112 解得/7 {6=g因为A区域共有30人，完成时间为8秒的有 由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结 果，和为奇数的有4种结果，所以按照小明的想法参加敬老 7人，所以该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概 服务活动的概率为号，按照小亮的想法参加文明礼仪宜传 率是品 活动的概率为音，由号+号知这个游戏不公平。 第3课时概率与几何图形 1.C2.B3.(1)D(2)A4.B5.B6.D7.C 10.(1120E:18人（图路）(2)90(3)30人(0号 8A9将10号1分2128 1 培优专题9：概率的求法及应用 13.解：(1)由图可知，共有18块方砖，其中白色8块，灰色 1.B2.C3.B4.A5. 1 6.公平 10块，故小皮球停留在灰色方砖上的概率是号，停留在 7.解：(1)D组人数为20×25%=5（名），C组人数为20-(2 白色方砖上的概率是÷、(2)因为号>号，所以小皮球 +4十5十3)=6（名），图略.估算参加测试的学生的平均成 绩为5X2+65X4+75X6+85X5+95X3=76.5(分). 停留在灰色方砖上的概率较大.要使这两个概率相等，可 20 以改变第二行第4列中的方砖颜色，即灰色方砖改为白色 (2)把4个不同的考场分别记为1,2,3,4，画树状图如图： 方砖.（答案不唯一） 开始 6.7利用画树状图和列表计算概率 小亮 第1课时用画树状图或列表求概率（一） 1D2.C34 5号 小刚 4.9 6.B7.C8.A 共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同 9.解：1)3 (2)列表如下： 考场的结果有12种，∴.小亮、小刚两名同学被分在不同考 12-3 A B C 场的概率为6=4 (3)样本方差为s=80,s吃= A.A B.A C,A .… 275.4,s<s2,甲班的成绩稳定.又x甲=x乙，.甲 B A.B B,B: C,B 班的数学素养总体水平高。 C A,C B,C: C,C 章末复习 由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一 1.B2.73.B 个测温通道通过的有3种结果，所以小明和小丽从同一个 4.(1)100(2)A:5人，E:15人.（图略）(3)72°(4)375人 测温通道通过的概率为9=3， 31 5.C 6.ACD 7.A 8.C 9.A 10.D11.号12.B13.D 10.号(221.4②g 12.解：(1)样本人数为8÷0.16=50（名），a=12÷50=0.24. 14()1240%84(2)280(3)8 70≤x<80的人数为50×0.5=25（名），b=50-8-12- ·24·同行学案学练测 25-3=2,c=2÷50=0.04.所以a=0.24,b=2,c=0.04. 4种，…两次摸出的球都是红球的概率为号、（②）号 (2)在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5 +0.06+0.04=0.6,1000×0.6=600(名)，∴.这1000名 18.解：(1)400(2)C组的人数为400-40-80一40= 学生中约有600名学生的竞赛成绩不低于70分.(3)成 240(人)，图略.(3)36(4)估计其中达到该市规定每天 绩是80分以上（含80分）的同学共有5名，其中成绩在 在校体育活动时间的学生人数有80000×240+40一 400 80≤x<90的有3名，分别记为甲、乙、丙，成绩在90≤x 56000(名). <100的有2名，分别记为A,B,从竞赛成绩是80分以上 19.解：(1)100800(2)一共调查了100名学生，爱好单 (含80分)的同学中随机抽取两名同学，画树状图如图 板滑雪的占10%，∴.爱好单板滑雪的学生有100×10%= 所示： 10(名)，.∴.爱好自由式滑雪的学生有100一40一20一10= 开始 30(名)，补全条形统计图如下： ↑人数 50 40 40 30 30 乙丙AB甲丙AB甲乙AB甲乙丙B甲乙丙A 20 10 10 共有20种等可能的结果，抽取的两名同学在同一组的有 0 花样短道自由式单板项目 8种结果，∴抽取的两名同学来自同一组的概率P=20 8 滑冰速滑滑雪滑雪 (3)列表如下： 2 5 A B C D 13.(1)40C组人数为8，图略.(2)72(3)560（④）2 (B,A)(C,A)(D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) 14.解：(1)n=100,D等级的人数为35，图略.(2)2000× (A,C)(B,C) (D,C) 10十35=900（名），估计学校每周参加课外兴趣小组活动 100 D (A,D)(B,D)(C,D) 累计时间不少于4小时的学生为90名。(3)日 从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结 果一共有12种，抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪 15.B161017.ABD18号19.日 C的结果有(A,C),(B,C),(D,C)(C,A),(C,B),(C, 直击中考 D),一共有6种，∴P(抽到项目中恰有一项为自由式滑 1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.A8.C 雪c==日 9B10B1.合12.}13.日14日15.8 1 第7章空间图形的初步认识 16.解：画树状图如图所示. 7.1几种常见的几何体 开始 1.A2.D3.B4.B5.B6.B 7.248.B9.A10.D11.D12.B13.C 14.(1)36(2)3n(n+1)15.A 26-426-426 16.解：拼接后的长方体模型的长、宽、高分别为10厘米、 共有9种等可能的结果，点(x,y)落在平面直角坐标系第 10厘米、4厘米，所以它的表面积为(10×10+10×4+10 一象限内的结果有4种，∴点(x,y)落在平面直角坐标系 ×4)×2=360(平方厘米)：原来的两个长方体的表面积 第一象限内的概率为台 和为(10×5+10×4+4×5)×2×2=440（平方厘米），因 此拼接后的表面积减少了440一360=80（平方厘米）. 17.解：(1)画树状图如图所示. 7.2直棱柱的侧面展开图 开始 第1课时直棱柱的侧面展开图 红 红 白 1.ACD2.A3.①②③4.C5.A6.B 红红白红红白红红白 7.3458.2.24×105mm39.2.5cm10.D 共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有11.BC12.B13.A14.A15.12cm316.216cm3 17.解：由图可知，AD=AB十BC+CD.,AD=10,CD=2, 10.解：(1)如图，木柜的表面展开图是矩形ABC1D1或 AB十BC=8.设AB=x,则BC=8一x, ACC1A1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图 8 不等式①，得x>3,解不等式②， 的AC1或AC1. D 得x<5,∴.不等式组的解集是3<x<5,∴.AB长度的取 值范围是3<AB<5. 第2课时与直棱柱有关的计算 1.D 2.解：设题图②的捆绑绳长为l1,则l1=2a×2+2b×2十4c (2)蚂蚁沿着木柜表面矩形ABCD1爬过的路径AC的 ×2=4a十4b+8c;设题图③的捆绑绳长为12，则l2=2a× 长是11=√4+(4+5)严=√97.蚂蚁沿着木柜表面 2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c;设题图④的捆绑绳长为 l3,则l3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c.,l1-l2 ACCA1爬过的路径AC1的长是12=√(4+4)2+5= =(4a+4b+8c)-(4a+4b+4c)=4c>0,∴.l1>l2.:l3 √89.11>l2,故最短路径的长是√89.(3)如上图.作 -l2=(6a+4b+6c)-(4a十4b+4c)=2a十2c>0,.l3> B,E⊥AC1于点E.∠CEB1=∠CA1A=90°， L2..l3-l1=(6a+4b+6c)-(4a+4b+8c)=2a-2c= BE 2(a-c),a>c,.2(a-c)>0,即l3-l1>0,l3>l1,.l3 ∠A,CA=∠EC,B1,△AAC△B,ECAA >l>l2,∴题图④的捆绑方法用绳最长，题图③的捆绑方 法用绳最短. AC1 则B,E-8M,=点×5-甜v, BiCI 89 3.C4.B5.136.B7.30 7.3圆柱的侧面展开图 8.解：如图所示，将长方体表面展开，蜘蛛的爬行路线在其表 1.C2.D3.C4.1或25.250πcm3 面展开图中有三种情形.在图①中，AG1=√62+9= 6.解：设圆柱的底面半径为r,高为h,由圆柱的侧面积为8π， √/17(cm),AG2=√11+4=√137(cm);在图②中， 得2r·h=8π①，由圆柱的体积为16π，得r2·h= AG=√102+52=√125(cm).通过比较可知经过EF到 16π②，由②÷①，得r=4,把r=4代人①，得h=1,所以 G点的爬行路线最短 这个圆柱的底面半径是4，高是1. 7.A8.C9.(1)13m(2)1.3 10.解：如图，将圆柱展开，连接AB.根据两点之间线段最短， 故梯子最短是AB=√122+52=13(m), R D H ① ③ 9.解：(1)设三个面的面积记为A=bc,B=ac,C=ab.在“1X 11.A12.2513.22 6”的方式下，打包方式如图①，这时，表面积=2C+12B十 14.解：(1)如图，连接OA,OD,过点O作OE⊥AD,垂足为 12A=2×11×7+12×11×2+12×7×2=586.在“2×3” 的方式下，打包方式如图②，这时，表面积=4C十6B十12A 点E.:D的长为圆周长的号，扇形OAD的圆心 =4×11×7+6×11×2+12×7×2=608.因为586<608， 角为36°×号 240°，∠AOD=360°-240°=120°. 所以最小表面积的打包方式是图①.(2)若a≥b≥c,则 按“1×6”方式打包的最小表面积S=2ab+12ac+12bc;按 0E1AD,∠A0E=号×120=60，AE=号AD, “2×3”方式打包的最小表面积S=4ab+6ac十12bc.所以 S-S'=2a(3c-b),所以当a≥b,且c≤b<3c时，最小表 AD=24cm,∴.AE=12cm.在Rt△AOE中， 面积为“2×3”方式；当a≥b>3c时，最小表面积为“1×6” 方式；当a≥b=3c时，两种方式表面积一样大. ∠A0E-A5iA0-6 sin60°≈12÷3 =8/3(cm). 答：⊙O的半径为83cm.(2)设圆柱的表面积为S,则 S=2S圈十S侧.2S图=2π×(83)2=384π(cm2),S侧= 2π×8√5×25=400√5π(cm2),.S=(384π+ 2 400√3π)cm.答：这个圆柱形木块的表面积为(384π+ 4003π)cm2. 6B元号8.5×10 9.解：(1)连接BC,AO.,∠BAC=90°，OB=OC,.BC是 ⊙O的直径，AO⊥BC.,⊙O的直径为√2cm,则AC= D 1cm,故S形= 90π×1_1 360 4π(cm).(2)BC的长为 7.4圆锥的侧面展开图 90πX1= 1.(1)B(2)D2.12π3.B4.15π5.8√2π6.C 180 登(cm,则2R=乏，解得R=是，放该圆锥的 7.√158.5πcm 1 9.解：(1)如图，设此圆锥的高为h,底面半径为r,母线长AC 底面圆的半径是车cm =l.2r=,1:r=2:1.(2):4010C,=2, 10.解：(1)8 (2)如图，共四种情况。 ∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC=60°.(3)由图 可知l2=h2+r2,h=33cm,.(2r)2=(3√3)2+r2,即 4r2=27+r2,解得r=3,.1=2r=6cm,∴.圆锥的侧面积 为18πcm2. ③ ④ 10.C11.A12.B13.2cm14.5 4 (3)长方体纸盒的底面是一个正方形，设最短的棱长 15.解：由题意可知，BA=6rcm,CD=4rcm,设∠AOB=n°， (即高)为acm,则长与宽相等为5acm.,长方体纸盒所 A0=Rcm,则C0=(R-9)cm,由弧长公式得L=”迟， 有棱长的和是880cm,∴.4(a+5a+5a)=880,解得a= 180 20,.这个长方体纸盒的体积为20×100×100= /6X180-mR ,解得n=40,R=27,故扇形OAB 200000(cm3). 4×180=nR-9 章末复习 。4 的圆心角是40，：R=27,R-9=18,∴S前形0m= 1.D2.B3.D4.C5.C6.67.B8.C 1 9.410.17 ×18=36x(cm2),S期彩0aa=2×6元×27=81π(cm2), 11.解：(1)这个几何体是六棱柱. .纸杯侧面积=S扇形0B一S崩形0m=81π一36π=45π(cm2). (2)侧面积=(2十4)ab=6ab. 纸杯底面积=π·22=4π(cm2),纸杯表面积=45π十 12.解：(1)该铁皮的面积为(1×3)×2+(2×3)×2+(1×2) 4π=49π(cm2). ×2=22(平方米).(2)能做成一个长方体盒子，如图所 培优专题10：与展开图有关的难点问题探究 示，它的体积为3×1×2=6（立方米）. 1.C2.125cm3.√1454.12√2 5.解：(1)如图①所示..正方体的棱长为2，∴.AC=2AB= 2米 4,CG=2,∴.AG=V√AC2十CG=√/16+4=2√5，∴.蚂蚁 71米 吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5.(2)如图②所 3米 示.由题意可知AN=AB十BN=3,MN=2,.AM= √AN2+MNz=√32+22=√13，∴.蚂蚁要吃到这粒米 13.解：这个零件的底面积=元·（学）-36x(cm):这个零 需要爬行的最短距离是√13。 件的圆柱的侧面积=12π·8=96π(cm2);圆锥母线长OC F √8+（皆）-10(m,这个等件的内制面积=号 2 12π·10=60π(cm2),∴.这个零件的表面积为36π十96π十 B N 60π=192π(cm). ① ② 14.144或384π 同行学案学练测·25·第7章空间图形的初步认识☑ 7.2直棱柱的侧面展开图 第1课时直棱柱的侧面展开图 (教材P134~136练习) 即基础闯关 >>>>>>》> 难度等级基础题 “创”字所在的面相对的面上标的字是() 知识点一：一般直棱柱的侧面（表面）展开图 A.庆 B.力 C.大 D.魅 1.(多选)下列图形中，是直棱柱表面展开图的 是() 创 2 -2 建魅力大 庆 3 -3 第5题图 第6题图 6.[空间观念]如图是一个正方体的展开图，折 2.下面立体图形名称与平面展开图不相符的 成正方体后，x,y与其相对面上的数字相等， 是( 则x’的值为( ) A.8 B.-8 C.9 0 知识点三：与直棱柱有关的计算问题 三棱锥 长方体 正方体 圆柱 7.若一个直三棱柱底面边长都是3厘米，侧棱 A D 长为5厘米，则此三棱柱共有 个侧 3.如图所示的四幅平面图中，是三棱柱的表面 面，侧面展开图的面积为 平方厘米. 展开图的有 (填序号) 8.某种品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示 (单位：mm),那么这种牛奶包装盒的容积是 (包装材料厚度不计) ① ② 知识点二：正方体的表面展开图 -70 40H 70 4.(宿迁中考)下列展开图中是正方体展开图的 是( 第8题图 第9题图 9.(潍坊新华中学模拟)如图，将一个边长为 10cm的正方形，沿粗黑实线剪下4个边长为 的小正方形，拼成一个大正方形作 为直四棱柱的一个底面；余下部分按虚线折 叠成一个无盖直四棱柱；最后把两部分拼在 5.(大庆中考)将正方体的表面沿某些棱剪开， 一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积 展成如图所示的平面图形，则原正方体中与 等于原正方形的面积 做神龙题得好成绩 99 ☑同行学案学练测九年级数学下QD 易错点：根据带有图案的立体图形判定它的平面展 开图易出错 素养提升微专题 10.如图所示的正方体的平面展开图是( 【根据展开图进行相关计算】 14.如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线 裁剪后恰好围成一个底面是正三角形的棱 柱，这个棱柱的侧面积为( A.9-3√3 B.9 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 3 C.9- D.9- 3 11.(多选)图甲和图乙中所有的正方形都全等， 将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某 一位置，所组成的图形能围成正方体的位置 cm 是( -8cm1 第14题图 第15题图 15.如图，一个长方体的表面展开图中四边形 ABCD是正方形，则原长方体的体积是 ④ 甲 16.如图①是边长为18cm的正方形纸板，截掉 A.① B.② C.③ D.④ 阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方 12.(达州中考)下列正方体的展开图的每个面 体盒子.已知该长方体的宽是高的2倍，则 上都有一个汉字.其中，“手”的对面是“口” 它的体积是 的是( ) 勤 高 勤洗手 洗手戴口 长 戴口罩 罩 ② A B 勤 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 勤洗 洗手戴 17.[空间观念]如图，已知图①为图②中三棱柱 手戴 口 ABC-EFG的展开图，其中AE,BF,CG, 口罩 罩 DH是三棱柱的侧棱，若图①中，AD=10, C 0 CD=2,求AB长度的取值范围. 13.(聊城中考)如图①是一个小正方体的表面 A(D) 展开图，小正方体从图②所示的位置依次翻 到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正 方体朝上一面的字是( G 中 ① 国梦水城 美 12 34 ① ② A.梦 B.水 C.城 D.美 100做神龙题得好成绩