6.7 利用画树状图和列表计算概率-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

６．７　利用画树状图和列表计算概率 综合与实践　质数的分布(略) 知识点一　利用画树状图法求概率 适用条件 当一次试验要涉及两个或更多的因素时(如从３个口 袋中取球),为了不重不漏地列出所有可能的结果,通 常采用树状图法． 利用画树状图法求概率的步骤 【例１】在一个不透明的盒子里有红球、白球、黑球各一 个,它们除了颜色外其余都相同．小明从盒子里随机 摸出一球,记录下颜色后放回盒子里,充分摇匀后,再 随机摸出一球,并记录下颜色．请用画树状图法求小 明两次摸出的球颜色不同的概率． 解:画树状图如图６．７Ｇ１所示． 图６．７Ｇ１ 'F (１)在用树状图法求随机事 件的概率时,应注意各种情 况出现的可能性务必相同． (２)树状图能将所有等可能 的结果直观地列举出来,做 到既不重复也不遗漏． (３)通过画树状图列出所有 等可能结果并且数出结果 总数n,从中找出事件E 包 含的结果数m,然后利用概 率计算公式P(E)＝ m n 求出 事件E 发生的概率． ９５１ 由树状图可知,共有９个可能出现的结果,每个结果出 现的可能性相同,其中小明两次摸出的球颜色不同的 结果共有６个:(红球,白球),(红球,黑球),(白球,红 球),(白球,黑球),(黑球,红球),(黑球,白球), 所以P(小明两次摸出的球颜色不同)＝ ６ ９＝ ２ ３． 4 画树状图要注意“两确定” 　　画树状图时要注意横行与竖列的确定,树状图既 可以画成横向,也可以画成纵向．本题所画的树状图是 横向的,此时竖列表示的是试验中的元素(红球、白 球、黑球等),横行表示的是试验的步骤(第一次、第二 次等)．若画成纵向的,则可用横行表示试验中的元素, 竖列表示试验的步骤． 知识点二　利用列表法求概率 列表法的适用条件 事件中各种结果出现的可能性均相等且只含有两次操 作(如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件． 利用列表法求概率的步骤 (１)选其中的一次操作或一个条件作为横行,另一次操 作或另一个条件作为竖行,列表如下: 　　　第一步 第二步　　　 A１ A２ A３ 􀆺 An A１ (A１,A１)(A２,A１)(A３,A１) 􀆺 (An,A１) A２ (A１,A２)(A２,A２)(A３,A２) 􀆺 (An,A２) A３ (A１,A３)(A２,A３)(A３,A３) 􀆺 (An,A３) 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 An (A１,An)(A２,An)(A３,An) 􀆺 (An,An) (２)运用公式P＝ m n 计算概率． ０６１ 【例２】小刚和小明两名同学玩一种游戏．游戏规则为:两 人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负, 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人出牌相同,则为 平局．例如,小刚出“象”牌,小明出“虎”牌,则小刚胜; 又如,两人同时出“象”牌,则两人平局． (１)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少? (２)如果用 A,B,C分别表示小刚的“象、虎、鼠”三张 牌,用 A１,B１,C１ 分别表示小明的“象、虎、鼠”三张牌, 那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 用列表法 加以说明． 解:(１)P(一次出牌小刚出“象”牌)＝ １ ３． (２)列表如下: 　　　小明 小刚　　　 A１ B１ C１ A (A,A１) (A,B１) (A,C１) B (B,A１) (B,B１) (B,C１) C (C,A１) (C,B１) (C,C１) 由表可得,小刚和小明出牌的结果共９个,它们出现 的可能性相等,满足小刚胜小明的结果有(A,B１), (B,C１),(C,A１),共３个, 所以一次出牌小刚胜小明的概率P＝ ３ ９＝ １ ３． 'F (１)在用列表法求概率时, 得到的等可能的结果不能 重复,也不能遗漏． (２)在运用列表法分析随机 事件发生的概率时,数据或 事件的顺序不能相互混淆． 如(１,２)与(２,１)不是相同 的事件． (３)当一次试验涉及的因素 在三个或三个以上时,无法 使用列表法,此时只能采用 画树状图法求概率． 题型一　较复杂事件的概率的计算 画树状图计算概率 【例１】用三个圆形板制成三个转盘,各转盘中的扇形 圆心角 均 相 等,同 时 转 动 如 图 ６．７Ｇ２ 所 示 的 三 个 转盘． １．小明从家到学校上学,沿 途需经过三个路口,每个 路口都设有红、绿两种颜 色的信号灯,在信号灯正 常的情况下: １６１ (１)请用画树状图法列 举出小明遇到信号灯的 所有情况; (２)小明遇到两次绿色 信号灯的概率有多大? (３)小明红色、绿色两种 信号灯都遇到的概率有 多大? 图６．７Ｇ２ (１)求三个转盘的指针均指向红色区域的概率; (２)求恰有两个转盘的指针指向红色区域的概率． 审题关键:选择恰当的方法列举出所有等可能的结 果数． 破题思路:同时