5.1 函数与它的表示法-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（青岛版)

第５章　对函数的再探索 ５．１　函数与它的表示法 知识点一　函数的表示方法 表示 方法 定义 优点 缺点 图象法 用图象表示 变量之间的 函数关系的 方法 直观,能够形象地反映 出当自变量的值变化时 函数值的变化趋势,常 用来研究函数的性质和 变化趋势 不能准确地由 已知自变量的 值求出函数值 列表法 用表格表示 变量之间的 函数关系的 方法 已知表格中给出的部分 自变量的值时,可以不 通过计算直接查出对应 的函数值 只能表示出自 变量的有限个 离散值及其函 数值 解析法 用数学式子 表示变量之 间的函数关 系的方法 全面、准确、方便,对于 自变量在可以取值的范 围 内 任 取 一 个 确 定 的 值,都可以通过表达式 计算求出它的函数值 不 够 形 象 直 观,而 且 并 不 是每一个函数 都可写出它的 表达式 【例１】某商店零售一种商品,其质量x(kg)与售价 y(元)之间的关系如下表: x/kg １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ y/元 ２．４ ４．８ ７．２ ９．６ １２ １４．４ １６．８ １９．２ (１)由上表推出售价y 随质量x 变化的函数表达式, 并画出函数的图象; (２)李大婶购买这种商品５．５kg,应付多少元? 解:(１)由表格观察到质量每增加１kg,售价就增加２．４元, 'F (１)函数的表示方法是认识 和表达函数的有效工具,不 同的函数表示方法具有不 同的特点,其中图象法可以 更形象、直观地反映函数值 随自变量的值变化而变化 的情况,它体现了数形结合 的思想． (２)函数的三种表示方法在 一定情况下可以相互转化． １ 'F 对于每一个x 的值,y 的 值 可 以 相 等 也 可 以 不 相 等,但如果一个x 的值对 应着两个不同的y 的值, 那么y 就不是x 的函数, 如y２＝x,当x＝１时,y 有两个对应值,所以y 不 是x 的函数． 所以此函数的表达式为y＝２．４x(x≥０)． 图象如图５．１Ｇ１所示． 图５．１Ｇ１ (２)购买这种商品５．５kg,即当x＝５．５时,y＝２．４× ５．５＝１３．２． 所以应付１３．２元． 4 根据需要选择表示函数的方法 　　函数的三种表示方法分别从“数”和“形”的角度 反映了函数的本质,且各有优点和缺点．在实际应用中 应根据不同的需要,选取不同的表示方法． 知识点二　函数概念的再认识 定义 在同一个变化过程中,有两个变量x,y．如果对于变量 x 在可以取值的范围内每取一个确定的值,变量y 都 有唯一确定的值与它对应,那么就说y 是x 的函数 注意 事项 (１)必须是两个变量,不能多,也不能少; (２)一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化; (３)自变量每取一个确定的值,函数都有唯一确定的 值与它对应,可以是“多对一”,但不可以是“一对多” 【例２】判断下列变量之间的关系是不是函数关系,并说 明理由． (１)长方形的长a 与面积S;(２)圆的面积S 与半径r; (３)y＝± x中的y 与x;(４)S＝ １ ２ah 中的S 与h． 解:(１)不是．长方形的面积S 与长(a)、宽(b)之间的关系 是S＝ab,S,a,b的值都不确定,故存在三个变量． ２ (２)是．S＝πr２,π是常数,当r 取一个确定的值时,S 的值唯一确定． (３)不是．例如,当x＝４时,y＝±２,即y 有两个值与 之对应． (４)不是．在S＝ １ ２ah 中,S,a,h 的值都不确定,故存 在三个变量． 知识点三　自变量取值范围的确定 确定自变量的取值范围,就是要确定使函数表达式有 意义的自变量的取值． 不同类型的函数表达式中自变量的取值范围 类型 特点 举例 取值范围 整式型 表 达 式 等 号 右 边 是整式 y ＝３x２ ＋ ５x＋２ 全体实数 分式型 表 达 式 等 号 右 边 是分式 y＝ １ x－３ 使 分 母 不 为 ０ 的实数 根式型 表 达 式 等 号 右 边 是二次根式 y＝ x＋５ 使根 号 下 的 式 子大于或等于０ 的实数 综合型 包含上述 ３ 种情 况中的至少２种 y＝ x＋３ x 使各 部 分 都 有 意义的实数 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:当函数表达式表示实际问题时,自变量的取 值必须使实际问题有意义． 【例３】(１)在函数y＝ x－３＋ １ x－４ 中,自变量x 的取 值范围是什么?