第2章 解直角三角形 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

第２章　解直角三角形 ９５　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　九年级　上册 ９６　 专题一　 利用锐角三角比的定义 求值 　　锐角三角比的定义是解直角三角形 的基础,熟记正弦、余弦、正切的概念是 解决问题的关键． 【例１】如 图 ２Ｇ１,在 △ABC 中,AD ⊥ BC,垂足是 D,若BC＝１４,AD＝１２, tan∠BAD＝ ３ ４ ,求sinC 的值． 图２Ｇ１ 思路分析 在 Rt△ADC 中,sinC＝ AD AC , AD＝１２,只需求 出 AC 的 长,而 DC 的长未 知,由 线 段 的 数 量 关 系 BC＝ BD＋DC,需在 Rt△ABD 中求BD, 利用tan∠BAD＝ BD AD 和AD＝１２可 得BD． 解 因为AD⊥BC,所以tan∠BAD＝ BD AD． 因为tan∠BAD＝ ３ ４ ,AD＝１２, 所以 ３ ４＝ BD １２ , 所以BD＝９． 所以CD＝BC－BD＝１４－９＝５． 所以在Rt△ADC 中, AC＝ AD２＋CD２ ＝ １２２＋５２ ＝１３, 所以sinC＝ AD AC＝ １２ １３． 4 　　解答此类问题一般先确定直角三 角形,再利用锐角三角比进行求解． 专题二　特殊角的三角比的应用 　　特殊角的三角比经常和分式的化 简、二次根式的化简、含特殊角的三角形 的计算结合在一起考查．熟记特殊角的三 角比是解决此类问题的基础． 【例２】身高相等的四名同学甲、乙、丙、 丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线 长、线与地面的夹角如下表(假设风筝 线是拉直的),则四名同学所放的风筝 中最高的是 (　　) 同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝的线长１４０m１００m ９５m ９０m 线与地面的夹角 ３０° ４５° ４５° ６０° A．甲　 　　　　　B．乙 C．丙 D．丁 思路分析 根据题意画出图形,分别利用 解直角三角形的知识求出风筝的高, 再进行比较即可． 解析 如 图 ２Ｇ２ 所 示．甲:AC＝１４０ m, ∠C＝３０°,则AB＝１４０×sin３０°＝ ７０(m);乙:DF＝１００m,∠F＝４５°,则 DE＝ １００ × sin ４５° ＝ ５０ ２ ≈ ７０．７１(m);丙:GI＝９５m,∠I＝４５°,则 GH＝９５×sin４５°＝ ９５２ ２ ≈６７．１８ (m); 第２章　解直角三角形 ９７　 丁:JL＝９０ m,∠L＝６０°,则 JK ＝ ９０×sin６０°＝４５ ３≈７７．９４(m)．综上, JK 最大．故选 D． 　 　　　甲　　　　　　 　　乙 　 　　　丙　　　　　　 　　丁 图２Ｇ２ 答案 D " 　　根据不同的图形,结合数据求出 各自的高度是解题的关键． 【例３】如果(４tan４５°－b)２＋ ３＋ １ ２b－c＋ |a－３|＝０,那么边长分别为a,b,c 的 三角形的面积等于 (　　) A．６ B．７ C．８ D．９ 解析 根 据 题 意,知 ４tan４５°－b＝０, ３＋ １ ２b－c＝０ , a－３＝０, ì î í ï ï ï ï ïï 解 得 a＝３, b＝４, c＝５． ì î í ï ï ï ï 所以a２＋b２＝c２,即以a,b,c 为三边 长的三角形为直角三 角 形,且 ∠C＝ ９０°,所以S＝ １ ２ab＝６． 答案 A 4 　　先利用“几个非负数之和等于０, 则这几个数均为０”的性质,求出a,b, c的值,再利用勾股定理的逆定理判断 出三角形是直角三角形,求出面积． 专题三　用锐角三角比解决实际问题 　　用锐角三角比知识解决现实生活中 的问题,实际上就是解直角三角形,主要 有轮船定位问题、堤坝工程问题、距离测 量问题、高度测量问题等．解决这些问题 的基本思路:第１步,将实际问题转化为 解直角三角形的问题;第２步,求出相关 的角;第３步,确定问题的答案． 【例４】如图２Ｇ３,一次龙卷风给小岛O 造 成了较大的破坏,相关部门迅速组织 力量,从仓储D 处调集救援物资,计划 先用汽车运到与 D 在同一直线上的 C,B,A 三个码头中的一处,再用货船 运到小岛O．已知OA⊥AD,∠ODA＝ １５°,∠OCA＝３０°,∠OBA＝４５°,CD＝ ２０km．若汽车行驶的速度为５０km/h, 货船航行的速度为２５km/h,问这批物 资在哪个码头装船,可以最早运抵小 岛O(在物资搬运能力上每个码头工 作效率相同,参考数据:２≈１．４,３≈ １．７)． 图２Ｇ３ 解 因为∠OCA＝３０°,∠D＝１５°, 数学　九年级　上册 ９８　 所以∠DOC＝１５°． 所以CO＝CD＝２０km． 在Rt△OAC 中,因为∠OCA＝３０°, 所以OA＝１０km,AC＝１０３km． 在Rt△OAB 中,因为∠OBA＝４５°, 所 以 OA ＝ AB ＝ １０ km,OB