第1章 图形的相似 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（青岛版)

数学　九年级　上册 ４６　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 专题一　 相似三角形的判定和性质 的综合应用 　　综合运用相似三角形的判定和性 质,证明线段之间的关系或计算线段的 长是常见的题目．解决此类问题的关键是 证明两个三角形相似,利用相似三角形 对应边成比例得出比例式或等积式,进 一步求出两条线段的关系或某条线段的 长度． 【例１】如图１Ｇ１９,△ABC 是等边三角 形,CE 是外角平分线,点D 在AC 上, 连接BD 并延长与CE 交于点E． 第１章　图形的相似 ４７　 (１)求证:△ABD∽△CED; (２)若AB＝６,AD＝２CD,求BE 的长． 图１Ｇ１９ 思路分析 (１)由等边三角形ABC 及CE 是外角平分线可得,∠A＝∠ACE＝ ６０°,再 由 ∠ADB ＝ ∠CDE 可 证 △ABD∽△CED． (２)由△ABD∽△CED,AD＝２CD 可 得,BD＝２DE．过点B 作BM⊥AC．在 Rt△BMD 中,求出 BD,从而可求出 BE 的长． (１)证明 因为△ABC 是等边三角形, 所以∠BAC＝∠ACB＝６０°, 所以∠ACF＝１２０°． 因为CE 是外角平分线, 所以∠ACE＝６０°． 所以∠BAC＝∠ACE． 又因为∠ADB＝∠CDE, 所以△ABD∽△CED． (２)解 如 图 １Ｇ２０,作 BM ⊥AC 于 点M． 图１Ｇ２０ 因为AC＝AB＝６, 所以AM＝CM＝３, 所以BM＝ ６２－３２ ＝３３． 因为AD＝２CD,所以CD＝２,AD＝４, MD＝１． 在 Rt△BDM 中,BD＝ BM２＋MD２ ＝ ２７． 由(１),知△ABD∽△CED, 所以 BD ED＝ AD CD , 即 ２７ ED ＝２ ,所以ED＝ ７, 所以BE＝BD＋ED＝３７． " 在等边三角形中求线段长时,一 般要作出等边三角形的高,构造直角 三角形,应用勾股定理的知识求解． 专题二　相似三角形的周长与面积 　　求相似三角形的周长与面积是本章 的重要内容之一,也是中考的常考点．在 求相似三角形的周长和面积时注意两 点:(１)找 准 对 应 关 系,求 得 相 似 比; (２)能熟练运用相似三角形的周长之比 等于相似比,面积之比等于相似比的平 方的性质． 【例２】如图１Ｇ２１,在△ABC 中,∠C＝ ９０°,将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶 点C 恰好落在AB 边上的点D 处,已 知 MN∥AB,MC＝６,NC＝２ ３,则 四边形 MABN 的面积是 (　　) 图１Ｇ２１ A．６３　　　　　　B．１２３ C．１８３ D．２４３ 数学　九年级　上册 ４８　 解析 如 图 １Ｇ２２,连 接 CD,交 MN 于 点E． 图１Ｇ２２ 因为将△ABC 沿直线MN 翻折后,顶 点C 恰好落在AB 边上的点D 处, 所以 MN⊥CD,且CE＝DE, 所以CD＝２CE． 因为 MN∥AB, 所以 CD ⊥AB,并 可 证 得 △CMN ∽ △CAB． 所以 S△CMN S△CAB ＝ ( CE CD ) ２ ＝ １ ４． 在△CMN 中,∠C＝９０°,MC＝６,NC＝ ２３, 所以S△CMN ＝ １ ２MC 􀅰NC＝ １ ２×６× ２３＝６ ３, 所 以 S△CAB ＝４S△CMN ＝４×６ ３＝ ２４３, 所以 S四边形MABN ＝S△CAB －S△CMN ＝ ２４３－６３＝１８３． 答案 C 4 本题主要考查了相似三角形对应 高的比等于相似比,面积的比等于相似 比的平方．观察图形得到S四边形MABN ＝ S△CAB－S△CMN 是解题的关键． 专题三　 相似三角形知识在实际问 题中的应用 　　利用相似三角形的对应边成比例, 可以求出相似三角形中一些线段的长度． 我们就是利用这一点来求解现实生活中 一些不能直接测量的物体的高度、宽度 等．解题的关键是抽象出实际问题中的数 学问题． 【例３】小明和几位同学做手的影子游戏 时,发现对于同一物体,影子的大小与 光源到物体的距离有关．因此,他们认 为:可以借助物体的影子长度计算光 源到物体的距离．于是,他们做了以下 试验． (１)如图１Ｇ２３(示意图),垂直于地面放 置的正方形框架 ABCD,边长 AB 为 ３０cm,在其正上方有一灯泡,若在灯 泡的照射下,正方形框架的横向影子 A′B,D′C 的长度和为６cm,求灯泡离 地面的高度． (２)不改变图１Ｇ２３中灯泡的高度,将 两个边长为３０cm 的正方形框架按图 １Ｇ２４摆放,则此时横向影子A′B,D′C 的长度和为多少? (３)有 n 个 边 长 为a 的 正 方 形 按 图１Ｇ２５摆放,测得横向影子A′B,D′C 的长度和为b,求灯泡离地面的高度 (写出解题过程,结果用含a,b,n 的代 数式表示)． 图１Ｇ２３